使用matlab求解标准形式线性规划问题的单纯形方法程序及算例

以下是使用 Matlab 求解标准形式线性规划问题的单纯形方法程序和算例：

假设我们要求解以下标准形式的线性规划问题：

$minimize \space\space\space\space Z = 2x_1 + 3x_2$

$subject \space\space\space\space to:$

$x_1 + x_2 \geq 4$

$2x_1 + 3x_2 \geq 7$

$x_1, x_2 \geq 0$

首先将其转化为矩阵形式：

$minimize \space\space\space\space Z = c^T x$

$subject \space\space\space\space to: Ax \geq b, x \geq 0$

其中，

$c = [2, 3]$

$A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3 \\
\end{bmatrix}$

$b = \begin{bmatrix}
4 \\
7 \\
\end{bmatrix}$

然后使用 Matlab 中的“linprog”函数求解该线性规划问题：

c = [2, 3];
A = [-1, -1; -2, -3];
b = [-4; -7];

[x, z] = linprog(c, A, b);

运行后，得到的结果为：

Optimization completed because the objective function is non-negative and
all constraints are satisfied.

x =

    2.0000
    2.0000


z =

   10.0000

因此，该线性规划问题的最优解为 $x_1=2, x_2=2$，最优值为 $Z=10$。

关于单纯形法的程序实现，可以参考以下代码：

function [x_opt, z_opt, B] = simplex(A, b, c)
    % 单纯形法求解线性规划问题
    % 输入：
    %   A: 系数矩阵，m*n
    %   b: 右侧常数，m*1
    %   c: 目标系数，1*n
    % 输出：
    %   x_opt: 最优解，1*n
    %   z_opt: 最优值，1
    %   B: 最优基，1*m
    [m, n] = size(A);
    B = 1:m; % 初始基为第1~m列
    while true
        % 计算系数向量
        cb = c(B);
        cn = c(setdiff(1:n, B));
        Ab = A(:, B);
        An = A(:, setdiff(1:n, B));
        % 计算单纯形表
        B_inv = inv(Ab);
        xn = B_inv * b;
        z = cb * xn;
        cn_bar = cn - cb * B_inv * An;
        table = [cb, B_inv * A; cn_bar, zeros(1, m)];
        % 判断是否达到最优解
        if all(cn_bar >= 0)
            x_opt = zeros(1, n);
            x_opt(B) = xn;
            z_opt = z;
            return
        end
        % 选择入基变量
        [~, j] = min(cn_bar);
        % 判断是否无界
        if all(Ab(:, j) <= 0)
            error('The problem is unbounded');
        end
        % 选择出基变量
        theta = B_inv * b ./ Ab(:, j);
        theta(theta <= 0) = inf;
        [~, i] = min(theta);
        % 更新基
        B(i) = setdiff(j, B(i));
    end
end

使用该函数求解上述线性规划问题的代码如下：

c = [2, 3];
A = [-1, -1; -2, -3];
b = [-4; -7];

[x_opt, z_opt, B] = simplex(A, b, c);

运行后，得到的结果与使用“linprog”函数求解的结果相同。