有数列定义为:F(0) = a, F(1) =b,F(n) = F(n-1)+F(n-2), 且0 < a < b < 20.现给出a, b, n,请问F(n)能否被3整除.

时间: 2023-12-26 12:04:12 浏览: 54
好的,我明白了。针对你的问题,我来给你解答。 首先,我们可以列出这个数列的前几项: F(0) = a F(1) = b F(2) = a + b F(3) = 2b + a F(4) = 3b + 2a F(5) = 5b + 3a F(6) = 8b + 5a ... 我们可以发现,如果a和b都不是3的倍数,那么F(n)对3取模的结果会呈现出一个循环节,即: 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, ... 也就是说,F(n)能被3整除的充要条件是a或b是3的倍数,并且n对3取模的结果为2。 因此,我们只需要判断a和b是否为3的倍数,以及n对3取模的结果是否为2即可得出结论。
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有数列定义为:f(0) = a, f(1) =b,f(n) = f(n-1)+f(n-2), 且0 < a < b < 20.现给出a, b, n,请问f(n)能否被3整除.

### 回答1: 题目描述:给定一个数列,满足f(0) = a, f(1) =b, f(n) = f(n-1)+f(n-2),且 1 < a < b < 20。现给出a,b,n,请计算f(n)是否能被3整除。 解答:根据题意,先求出数列中的前n项,然后判断f(n)是否能被3整除即可。可以使用循环或递归的方式实现。 循环实现: ``` a = 2 b = 5 n = 10 f = [0] * (n+1) f[0] = a f[1] = b for i in range(2, n+1): f[i] = f[i-1] + f[i-2] if f[n] % 3 == 0: print("能被3整除") else: print("不能被3整除") ``` 递归实现: ``` a = 2 b = 5 n = 10 def fibonacci(n): if n == 0: return a elif n == 1: return b else: return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) f = fibonacci(n) if f % 3 == 0: print("能被3整除") else: print("不能被3整除") ``` ### 回答2: 首先可以列出数列的前几项:f(2) = ab, f(3) = b(ab), f(4) = b^2 (a^2 b - 1), f(5) = b^3 (a^3 b^2 - a), f(6) = b^4 (a^4 b^3 - a^2 b - 1),根据数学归纳法可得,当n≥3时,f(n)是由a、b的乘积和前两项的积相乘而成的,也就是f(n) = f(n-1)·f(n-2) = ab·f(n-2),考虑f(n)能否被3整除,可以把问题转化为ab·f(n-2)能否被3整除。显然,当a、b中至少有一个是3的倍数时,ab·f(n-2)一定能被3整除。因此,只需要考虑a、b都不是3的倍数的情况。 如果a、b都不是3的倍数,则它们除以3的余数只能是1或2。假设a≡1(mod 3),则b只能≡2(mod 3),因为如果b≡1(mod 3),则b<a,与题意矛盾;同理,如果b≡1(mod 3),则a必须≡2(mod 3),这样可以保证a<b。因此,可以把问题简化为当a≡1(mod 3),b≡2(mod 3)时,判断f(n-2)能否被3整除。又因为f(0)、f(1)都不是3的倍数,而对于n≥2的情况,f(n)的3次幂因子只有2种:b和a的个数之和的3次幂因子以及b的3次幂因子。因此,只需要说明f(n-2)中是否包含a或b,即可得出答案。 当n=2时,f(2) = ab一定不是3的倍数,因为a、b都不是3的倍数。当n=3时,f(3) = b(ab),此时的b已经是3的倍数,能够被3整除。当n≥4时,f(n-2)中至少包含a或b的1项,因此f(n-2)不能被3整除。 综上所述,只有当a、b中至少有一个是3的倍数时,f(n)能被3整除。 ### 回答3: 首先,我们可以通过列出数列的前几项来观察规律: f(0) = a f(1) = b f(2) = a * b f(3) = b * (a * b) = b^2 * a f(4) = (a * b) * (b^2 * a) = a * b^3 * a = a^2 * b^3 f(5) = (b^2 * a) * (a^2 * b^3) = a^3 * b^5 可以发现,若a和b都不是3的倍数,则f(n)不可能被3整除。因为数列中每一项的因数都只包含a和b,而它们都不是3的倍数。 若a和b中有一个是3的倍数,则f(0),f(1)和f(2)都是3的倍数。此后,数列中每一项的因数都包含3,因此f(n)也是3的倍数。 此外,若a和b中有一个是3的倍数,另一个为非3的倍数,则f(0)和f(1)都是3的倍数,但f(2)不是。而之后的数列中,每一项都是前两项的积,因此它们的因数中必定含有不为3的因子,因此f(n)不可能被3整除。 因此,总结来说,当且仅当a和b中至少有一个是3的倍数时,f(n)才能被3整除。

有数列定义为:F(0) = a, F(1) =b,F(n) = F(n-1)+F(n-2), 且0 < a < b < 20.现给出a, b, n,请问F(n)能否被3整除.UESTC

根据题目中数列的定义,可以使用递推公式来求解F(n)。具体地,我们可以使用一个循环来依次计算F(0), F(1), F(2), ..., F(n),直到计算出F(n)。在每次计算F(i)时,我们只需要用到F(i-1)和F(i-2)的值,因此可以使用两个变量来记录这两个值,并在循环中更新它们的值。最后,判断F(n)是否能够被3整除即可。 下面是使用Python语言实现上述算法的代码: ``` a = int(input("请输入a的值:")) b = int(input("请输入b的值:")) n = int(input("请输入n的值:")) f0, f1 = a, b for i in range(2, n+1): fi = f0 + f1 f0, f1 = f1, fi if f1 % 3 == 0: print("F(n)能被3整除") else: print("F(n)不能被3整除") ``` 需要注意的是,在循环中,我们从i=2开始计算F(2),因为F(0)和F(1)已经在初始化时给出了。另外,根据题目中的条件0 < a < b < 20,我们可以假设a和b的值在1到19之间,因此不需要对输入进行额外的检查。

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