如何通过矢量积方法构造雅可比矩阵

通过矢量积方法可以构造出一个 $n \times n$ 的雅可比矩阵，具体的做法是将一个 $n$ 维向量函数 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = [f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \cdots, f_n(\mathbf{x})]$ 对 $\mathbf{x}$ 中的每个分量求偏导数，得到一个 $n \times n$ 的矩阵：

$$
\mathbf{J}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}
\end{bmatrix}
$$

其中，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$。这个矩阵就是雅可比矩阵。

另外，矢量积方法也可以用来构造 Hessian 矩阵，只需要对每个分量再求一次偏导数即可。