矢量积构造法求解雅可比矩阵的matlab程序

以下是求解雅可比矩阵的matlab程序：

function [J] = Jacobian(f,x)
%输入：函数f，点x
%输出：Jacobi矩阵J

h = eps^(1/3); %取h的值
n = length(x);
m = length(f(x));
J = zeros(m,n);
f0 = f(x); %保存f(x)

for j = 1:n
ej = zeros(n,1);
ej(j) = 1;
x1 = x + h*ej; %x+h*ej
x2 = x - h*ej; %x-h*ej
J(:,j) = (f(x1)-f(x2))/(2*h); %Jacobian矩阵的计算
end

end

注意：此代码仅供参考，可能有错误或不完整，使用时请自行判断和修改。

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matlab中求雅可比矩阵的程序

### MATLAB 中计算雅可比矩阵的方法

在 MATLAB 中可以利用 `jacobian` 函数来构建雅可比矩阵。对于给定向量函数，此函数会自动求解各个变量关于各分量的偏导数并形成相应的雅克比矩阵[^1]。

下面展示一段用于定义和计算特定向量函数 `[x*y*z, y^2, x + z]` 对应于自变量 `[x, y, z]` 的雅可比矩阵的代码：

syms x y z;
f = [x * y * z, y ^ 2, x + z]; % 定义多维函数 f(x,y,z)
vars = [x, y, z];
J = jacobian(f, vars);          % 计算雅可比矩阵 J
disp(J);

这段脚本首先声明了三个符号型变量 `x`, `y`, 和 `z`；接着创建了一个由这三个变量组成的向量函数列表 `f`；最后调用了内置命令 `jacobian()` 来获取这些表达式的雅可比行列式，并通过 `disp()` 显示出来。

如果考虑的是机械臂运动学中的情况，则可以通过矢量积的方式来理解每一列代表的意义。例如，在笛卡尔空间里描述末端执行器的速度时，第 \(i\) 列表示关节速度对位置变化的影响，形式上写作:

\[ J_i=\left[\begin{array}{c}
\mathbf{v}_j \\
\mathbf{\omega}_j
\end{array}\right]\]

其中 \(\mathbf{v}_j\) 表示线速度而 \(\mathbf{\omega}_j\) 是角速度[^2]。

为了更贴近实际应用需求，这里给出一个简单的例子——假设有一个两连杆平面机器人手臂模型，其正向运动方程为：

\[ p_x=l_1 c_{q_1}+l_2 c_{(q_1+q_2)}\\p_y=l_1 s_{q_1}+l_2 s_{(q_1+q_2)} \]

要得到这个系统的雅可比矩阵可以用如下方式编码：

% 参数设置
syms q1 q2 l1 l2 real positive;

% 正向运动学公式
px = l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2);
py = l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2);

% 组合成位姿向量
pos = [px; py];

% 调用 Jacobian 函数获得雅可比矩阵
jacobi_matrix = jacobian(pos,[q1;q2]);

simplify(jacobi_matrix)    % 简化输出结果以便阅读

上述代码片段展示了如何针对具体物理系统建立对应的数学模型，并借助 MATLAB 提供的功能快速有效地完成复杂运算任务。

使用matlab写一个代码

下面是使用 Matlab 实现矢量积法求解雅可比矩阵的简单示例代码：

% 定义目标函数 f(x) 和其雅可比矩阵 J(x)
syms x1 x2;
f = [x1^2 + x2^2 - 1; x1 - x2^2];
J = jacobian(f, [x1, x2]);

% 初始化参数
x0 = [1; 1];
p0 = [-1; -1];
tol = 1e-6;
max_iter = 100;

% 迭代逼近最优解
for i = 1:max_iter
    % 计算 J(x0) 和 f(x0)
    J0 = double(subs(J, [x1, x2], x0'));
    f0 = double(subs(f, [x1, x2], x0'));
    
    % 解线性方程组 J(x0) * p0 = -f(x0)
    p0 = J0 \ (-f0);
    
    % 更新 x1 = x0 + p0
    x1 = x0 + p0;
    
    % 判断是否满足终止条件
    if norm(x1 - x0) < tol
        break;
    end
    
    % 更新 x0
    x0 = x1;
end

% 输出最优解和迭代次数
disp(['Optimal solution: x = [', num2str(x1'), ']']);
disp(['Iterations: ', num2str(i)]);

在上述代码中，目标函数为 `[x1^2 + x2^2 - 1; x1 - x2^2]`，其雅可比矩阵为 `jacobian(f, [x1, x2])`。我们选择初始点 `x0 = [1; 1]` 和方向向量 `p0 = [-1; -1]`，并设置终止条件为 `tol = 1e-6` 和最大迭代次数为 `max_iter = 100`。在迭代过程中，我们计算出当前点的雅可比矩阵和函数值，并通过解线性方程组和更新公式逼近最优解。最后，输出最优解和迭代次数。