四元数是如何表示成空间向量的
时间: 2024-05-23 07:14:21 浏览: 10
四元数通常用一个实部和三个虚部的向量表示。设四元数为$q = a + bi + cj + dk$,其中$a,b,c,d$都是实数,$i,j,k$是虚部,满足$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。
四元数还可以表示成一个旋转向量和一个旋转角度的形式。假设$q$表示一个旋转,旋转轴为$n=(x,y,z)$,旋转角度为$\theta$,则有:
$$
q = \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}(xi+yj+zk)\\
= \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}\boldsymbol{n}
$$
其中$\boldsymbol{n}$表示$n$的单位向量。这个形式可以看成是一个实部为$\cos\frac{\theta}{2}$,虚部为$\sin\frac{\theta}{2}\boldsymbol{n}$的四元数。因此,可以将四元数表示成一个旋转向量和一个旋转角度的形式。
相关问题
怎么用四元数表示空间位置
四元数可以用来表示空间位置的旋转和方向,但是不能直接表示位置。如果要表示空间位置,可以使用四元数来表示旋转,再加上一个向量来表示位置。
具体来说,设一个空间位置的四元数表示为 $q = \{w, x, y, z\}$,其中 $w$ 是实数部分,$x, y, z$ 是虚数部分。设该位置的向量表示为 $\vec{v} = \{v_x, v_y, v_z\}$。则该位置可表示为:
$$p = \begin{bmatrix}0 \\ \vec{v}\end{bmatrix} + 2w\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}y z - w x\\ w y + x z \\ w z + x y\end{bmatrix}$$
其中 $\begin{bmatrix}0 \\ \vec{v}\end{bmatrix}$ 表示一个四维向量,第一个分量为 $0$,后三个分量为 $\vec{v}$。这个向量表示位置的平移部分,后面两个部分表示位置的旋转部分。
四元数是怎么表示旋转的
四元数是一种用于表示旋转的数学工具,通常表示为 $q = w + xi + yj + zk$,其中 $w$ 是实部,$x,y,z$ 是虚部。四元数可以用来表示三维空间中的旋转,它们的旋转方式比欧拉角更容易理解和计算。
四元数的旋转表示可以通过以下公式获得:
$$
\mathbf{v}' = q \mathbf{v} q^{-1}
$$
其中,$\mathbf{v}$ 是旋转前的向量,$\mathbf{v}'$ 是旋转后的向量,$q^{-1}$ 是 $q$ 的逆元。这个公式实际上是一种变换,其中 $q$ 表示旋转变换,$\mathbf{v}$ 表示要被变换的向量,$q^{-1}$ 是 $q$ 的逆变换,表示在变换后将向量再次旋转回原来的位置。
四元数的旋转表示可以用于计算旋转矩阵,从而进行旋转变换。四元数的优点在于它们可以避免“万向锁”问题,即当欧拉角的某个轴旋转到与另一个轴重合时,旋转会失去一定的自由度,导致无法正确地旋转。而四元数则没有这个问题,因为它们可以表示任意的旋转。