四元数是如何表示成空间向量的

四元数通常用一个实部和三个虚部的向量表示。设四元数为$q = a + bi + cj + dk$，其中$a,b,c,d$都是实数，$i,j,k$是虚部，满足$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。

四元数还可以表示成一个旋转向量和一个旋转角度的形式。假设$q$表示一个旋转，旋转轴为$n=(x,y,z)$，旋转角度为$\theta$，则有：

$$
q = \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}(xi+yj+zk)\\
= \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}\boldsymbol{n}
$$

其中$\boldsymbol{n}$表示$n$的单位向量。这个形式可以看成是一个实部为$\cos\frac{\theta}{2}$，虚部为$\sin\frac{\theta}{2}\boldsymbol{n}$的四元数。因此，可以将四元数表示成一个旋转向量和一个旋转角度的形式。

相关问题

四元数乘以三维向量 C语言

四元数是一种数学工具，用于表示旋转和方向，在三维空间中有广泛的应用。它由四个实数构成，通常写作(q0, q1, q2, q3)，其中q0被称为实部，其余三个分量称为虚部，表示旋转的角度和轴。

在C语言中，将四元数与三维向量相乘可以用来进行旋转操作。首先，你需要定义一个结构体或类来表示四元数和三维向量。四元数乘法一般涉及以下步骤：

1. 将三维向量分解为单位长度的四元数，通常是通过将其转换为旋转矩阵然后再转化为四元数的形式。
2. 对四元数进行标准化，使其模长为1，这通常通过除以其模来完成：\( q = \frac{q}{|q|} \)。
3. 执行标准的四元数与三维向量的旋转变换公式，该公式涉及所谓的“复数”部分的运算。例如，假设四元数为 \( Q = (w, x, y, z) \) 和三维向量为 \( V = (v_x, v_y, v_z) \)，变换后的向量 \( W \) 可以表示为：
\[ W = V * Q = (V \cdot w + x \times V + y \times (V \times n) + z \times n) \]
其中 \( \times \) 表示向量叉积，\( \cdot \) 表示标量点积，\( n \) 是四元数 \( Q \) 的旋转轴。

这里需要注意的是，向量叉积和四元数乘法的操作都是复数运算，并需要处理好溢出、精度问题等。

怎么用四元数表示空间位置

四元数可以用来表示空间位置的旋转和方向，但是不能直接表示位置。如果要表示空间位置，可以使用四元数来表示旋转，再加上一个向量来表示位置。

具体来说，设一个空间位置的四元数表示为 $q = \{w, x, y, z\}$，其中 $w$ 是实数部分，$x, y, z$ 是虚数部分。设该位置的向量表示为 $\vec{v} = \{v_x, v_y, v_z\}$。则该位置可表示为：

$$p = \begin{bmatrix}0 \\ \vec{v}\end{bmatrix} + 2w\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}y z - w x\\ w y + x z \\ w z + x y\end{bmatrix}$$

其中 $\begin{bmatrix}0 \\ \vec{v}\end{bmatrix}$ 表示一个四维向量，第一个分量为 $0$，后三个分量为 $\vec{v}$。这个向量表示位置的平移部分，后面两个部分表示位置的旋转部分。