单位四元数和旋转向量关系

单位四元数和旋转向量之间有一定的关系，它们都可以用来表示三维空间中的旋转，但表示方式不同。

具体而言，可以通过一个单位四元数来表示一个旋转，这个旋转可以用一个旋转向量来表示。给定一个旋转向量(r_x, r_y, r_z)，可以通过如下的公式来计算对应的单位四元数：

q = cos(theta/2) + sin(theta/2) * (r_x*i + r_y*j + r_z*k)

其中，theta表示旋转角度，i、j、k分别为三维空间中的单位向量，满足 i × j = k、j × k = i、k × i = j，而 × 表示向量的叉积运算。

反之，给定一个单位四元数(q0, q1, q2, q3)，可以通过如下的公式来计算对应的旋转向量：

theta = 2 * acos(q0)
r_x = q1 / sin(theta/2)
r_y = q2 / sin(theta/2)
r_z = q3 / sin(theta/2)

需要注意的是，当旋转角度为0时，旋转向量可以为任意值，这时的单位四元数为(1, 0, 0, 0)。

相关问题

单位四元数和旋转向量惯性

单位四元数和旋转向量在表示旋转时，它们的惯性是不同的。单位四元数的惯性较好，它们可以通过乘法操作来叠加旋转，而且在叠加过程中不会有旋转误差的累积。这是因为单位四元数的乘法操作是四元数空间中的旋转操作，旋转后的结果仍然是一个单位四元数，因此可以通过连续的乘法操作来实现多次旋转的叠加。

而旋转向量的惯性相对较差，它们必须进行向量叉积和加法操作来叠加旋转。在叠加过程中，由于叉积和加法操作的误差会逐渐累积，因此可能会导致旋转误差的增加。另外，旋转向量的长度表示旋转角度，因此当两个旋转向量的长度差异较大时，叠加旋转会产生较大的误差。为了解决这个问题，通常需要对旋转向量进行归一化处理，以保证它们的长度相等。

旋转向量转四元数

在 OpenCV 中，可以使用 `cv::Quaternion()` 函数将旋转向量转换为四元数。

以下是示例代码：

// 假设旋转向量为 rot_vec
cv::Mat q_mat;
cv::Quaternion(rot_vec, q_mat);

cv::Vec4d q(q_mat.ptr<double>());

其中，`q` 即为转换后得到的四元数。

需要注意的是，旋转向量的长度必须为旋转角度的弧度值，且旋转向量必须为 3x1 或 1x3 的列向量。如果旋转向量的长度不为旋转角度的弧度值，需要进行归一化处理。