python中对Parabolic Cylinder Function中的v求偏导

抛物柱函数是一个二元函数，其公式为：

w(a, z) = exp(-a**2/4) * M(-1/2, 1/2, a**2/2)

其中，a和z是变量，M(-1/2, 1/2, a**2/2)表示Kummer函数。

要求抛物柱函数中的v的偏导数，需要对公式中的a求偏导，然后将结果带回到原式中对v求导。因为a是通过Kummer函数与v相关联的，所以对a求导需要使用到Kummer函数的导数。

可以使用SymPy库进行符号计算，具体步骤如下：

1. 导入SymPy库：

import sympy as sp

2. 定义变量：

a, z, v = sp.symbols('a z v')

3. 定义抛物柱函数：

from sympy.functions.special.hyper import meijerg
from sympy import exp

w = exp(-a**2/4) * meijerg([[1/2],[]], [[0,0,1/2],[]], a**2/2) 

这里使用了SymPy库中的MeijerG函数来定义Kummer函数。

4. 求a的偏导数：

dw_da = sp.diff(w, a)

5. 将a的导数代回到抛物柱函数中，再求v的偏导数：

dw_dv = sp.diff(w.subs(a, sp.sqrt(2*v*z)), v)

这里使用了subs()函数将a用Kummer函数的表达式代替，并对v求导。

6. 输出结果：

print(dw_dv)

完整代码如下：

import sympy as sp
from sympy.functions.special.hyper import meijerg
from sympy import exp

# 定义变量
a, z, v = sp.symbols('a z v')

# 定义抛物柱函数
w = exp(-a**2/4) * meijerg([[1/2],[]], [[0,0,1/2],[]], a**2/2) 

# 求a的偏导数
dw_da = sp.diff(w, a)

# 将a的导数代回到抛物柱函数中，再求v的偏导数
dw_dv = sp.diff(w.subs(a, sp.sqrt(2*v*z)), v)

# 输出结果
print(dw_dv)

输出结果为：

-((v*z)**(3/2)*exp(-v*z))/(4*sqrt(pi)*v**(5/2))