外点罚函数 matlab

### 外点罚函数在 MATLAB 中的实现

外点罚函数是一种用于解决带约束优化问题的方法，在 MATLAB 中可以通过编写特定的目标函数、约束条件以及主程序来实现。当处理非线性不等式和等式约束时，这种方法特别有用。

#### 定义目标函数
为了使用外点罚函数法解决问题，首先需要创建一个表示原始优化问题中目标函数的 M 文件。假设有一个简单的二次型目标函数：

function f = objectiveFunction(x)
    % 目标函数定义
    f = x(1)^2 + x(2)^2;
end

#### 设置约束条件
接着要建立两个额外的 M 函数分别描述不等式约束 `g` 和等式约束 `h`:

% 不等式约束 g(x)<=0
function [c, ceq] = inequalityConstraints(x)
    c = -x(1) * x(2) + 1;      % 示例中的不等式约束
    ceq = [];                  % 如果没有等式约束则返回空数组
end

对于某些情况可能还需要设置等式约束，这里省略了具体的例子因为并非所有问题都涉及此类约束[^3]。

#### 编写主程序
最后一步是在主脚本里调用这些自定义的功能，并通过循环逐步增加惩罚因子直到满足一定的终止准则为止。下面是一个简化版的例子展示如何在外点罚函数框架下执行此过程：

clear all;
clc;

r = 1e-6;                      % 初始惩罚参数 r
delta_r = 1.2;                 % 惩罚参数增长比例
epsilon = 1e-8;                % 收敛标准
maxIter = 100;                 % 最大迭代次数
iterCount = 0;                 % 当前迭代计数器初始化为零

x0 = [-1; 1];                   % 设定初始猜测值向量
[x_optimal, ~] = penalty(@objectiveFunction, @inequalityConstraints, [], x0);

while iterCount < maxIter && norm(g(x_optimal)) > epsilon
    r = delta_r * r;
    
    options = optimset('Display', 'off');
    [x_optimal, ~] = fminunc(@(x) augmentedLagrangian(x, r), x0, options);
    
    iterCount = iterCount + 1;
end

disp(['Optimization completed after ', num2str(iterCount), ' iterations']);
disp(['The optimal solution is at point:', mat2str(x_optimal)]);

function L = augmentedLagrangian(x, r)
    [~, c] = inequalityConstraints(x);
    L = objectiveFunction(x) + sum(max(c, 0).^2 ./ (2*r));
end

上述代码片段展示了完整的流程，从设定必要的变量到最终找到最优解的过程。值得注意的是，实际应用中应当根据具体应用场景调整各个部分的具体细节[^4]。