对于整数集Z,判断以下哪些运算”*“构成代数系统<z,*>的独异点 1、x*y=xy+1 2、x*y = y 3、x*y = xy+x+y
时间: 2024-06-02 15:10:41 浏览: 15
要判断一个运算是否构成代数系统的独异点,需要满足以下条件:
1. 封闭性:对于任意的a,b∈Z,都有a*b∈Z。
2. 结合律:对于任意的a,b,c∈Z,都有(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 单位元素:存在一个元素e∈Z,使得对于任意的a∈Z,都有a*e=e*a=a。
4. 逆元素:对于任意的a∈Z,都存在一个元素b∈Z,使得a*b=b*a=e。
首先判断第一个运算:
设a,b,c∈Z,有(a*b)*c=(ab+1)*c=abc+c,a*(b*c)=a(bc)+a+c=abc+c,因此不满足结合律。
再判断第二个运算:
设a,b∈Z,有a*b=b,b*a=b,因此满足封闭性、单位元素和逆元素,但不满足结合律。
最后判断第三个运算:
设a,b,c∈Z,有(a*b)*c=(ab+a+b)*c=abc+ac+bc,a*(b*c)=a(bc)+a+c=abc+ac+bc,因此满足结合律。
综上所述,只有第三个运算构成代数系统的独异点。
相关问题
2、若<S,*>是可交换独异点,T 为 S 中所有等幂元的集合,则<T,* >是<S,* >的 子独异点
首先需要明确几个概念:
- 可交换独异点指的是一个满足结合律、有单位元、每个元素都有唯一的逆元,并且满足交换律的代数系统。
- 等幂元指的是在可交换独异点中,任意两个元素的幂次相等。
根据题目描述,我们可以得到:
- S 是一个可交换独异点;
- T 是 S 中所有等幂元的集合。
那么我们需要证明的是,<T, *> 是 <S, *> 的子独异点。
首先,<T, *> 中的任意两个元素都是 S 中的等幂元,因此它们的幂次相等。因为 S 是可交换独异点,所以 <T, *> 中的任意两个元素的乘积在 S 中也是等幂元,因此它们的乘积在 <T, *> 中也是等幂元。
其次,<T, *> 中有单位元,这个单位元在 S 中也是存在且唯一的,因此 <T, *> 中也有单位元。
最后,<T, *> 中任意元素的逆元在 S 中也是存在且唯一的,因此 <T, *> 中任意元素的逆元在 <T, *> 中也是存在且唯一的。
综上所述,<T, *> 是 <S, *> 的子独异点。
(1)代数<N6,+6>是半群吗?是独异点吗?说明理由。若是,求其幺元; (2)代数<N6,+6>是群吗?说明理由。若是,写出其所有子群; (3)代数<N6,+6>是循环群吗?说明理由。若是,写出其所有的生成元。
首先,代数<N6,+6>是一个由数字0到5组成的集合,加法运算为模6加法,即对6取模后的加法。下面分别回答每一个问题:
(1) 代数<N6,+6>是半群,但不是独异点。
半群的定义是满足结合律的封闭二元运算,而加法运算显然满足这个条件,因此<N6,+6>是一个半群。但是,独异点是指存在一个元素,使得它对于运算满足唯一的左、右逆元,而在<N6,+6>中不存在这样的元素,因此它不是独异点。
幺元是指对于运算,存在一个元素使得与它运算结果不变,而在<N6,+6>中,0是这个元素,因此0是<N6,+6>的幺元。
(2) 代数<N6,+6>不是群。
群的定义是一个满足封闭、结合、存在幺元、每个元素都存在逆元的集合,而<N6,+6>缺少逆元。例如,对于元素1来说,不存在任何一个元素使得它与1的加和等于0。
(3) 代数<N6,+6>不是循环群。
循环群的定义是由一个元素生成的群,而在<N6,+6>中,每个元素都可以生成一个子群,但不存在一个元素可以生成整个群。因此,它不是循环群。
总结:
- 代数<N6,+6>是半群,但不是独异点。
- 代数<N6,+6>的幺元是0。
- 代数<N6,+6>不是群。
- 代数<N6,+6>不是循环群。
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