一10m 长的均匀细棒竖直放置在地面上,因放置不妥,细棒倒在地面上, 第 细棒看成绕与地面接触点转动,接触点位量不变,求细棒上端到达地面时的线速度
时间: 2023-06-11 21:07:45 浏览: 163
根据能量守恒定理,细棒的重力势能转化为了动能。设细棒的质量为 $m$,长度为 $l$,重心到接触点的距离为 $x$,地面为参考系,则细棒的重心下降了 $\Delta h = x$,动能为 $\Delta E = mgh$。假设细棒在接触点处的角速度为 $\omega$,则动能可以表示为 $\Delta E = \frac{1}{2}I\omega^2$,其中 $I=\frac{1}{3}ml^2$ 是细棒绕重心的转动惯量。
由于细棒是绕接触点转动,因此可以利用接触点的线速度和角速度之间的关系求出细棒上端的线速度。根据切线速度公式,线速度 $v$ 等于接触点的切线速度 $v_T$,而 $v_T = \omega r$,其中 $r$ 是接触点到细棒上端的距离。
由于细棒是从竖直方向开始运动的,初始时角速度为零,因此可以利用能量守恒定理求出细棒下落的距离 $x$ 对应的角速度 $\omega$:
$$
mgh = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}ml^2 \cdot \omega^2
$$
解得 $\omega = \sqrt{\frac{3gh}{l}}$。接着,根据勾股定理,可以求出接触点到细棒上端的距离 $r = \sqrt{l^2-x^2}$。最后,代入公式 $v_T = \omega r$,得到细棒上端的线速度为:
$$
v = \omega r = \sqrt{3gh(l^2-x^2)/l}
$$
其中 $x = \frac{1}{2}l$,代入可得:
$$
v = \sqrt{\frac{3gh}{2}}
$$
因此,细棒上端到达地面时的线速度为 $\sqrt{\frac{3gh}{2}}$。
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