最小二乘法 梯度下降法推导过程

最小二乘法是一种常用的优化方法，它被广泛应用于数据拟合和统计回归问题中，目的是找到一个函数，使得这个函数的预测值与实际观测值之间的误差平方和最小。梯度下降法则是求解最小化函数的一种迭代优化算法，尤其适用于非凸优化问题。

**最小二乘法**：
1. 假设我们有一个线性模型 \( y = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + ... + \theta_nx_n \)，其中 \( y \) 是目标变量，\( x_i \) 是特征向量，\( \theta \) 是模型参数。最小二乘法的目标是找到一组参数 \( \theta \)，使得所有数据点到直线 \( y = f(x) \) 的垂直距离之和最小。
2. 实质上，这转化为求解一个代价函数 \( J(\theta) = \sum_{i=1}^{m}(y_i - f(x_i))^2 \)，其中 \( m \) 是数据点的数量，\( J \) 随 \( \theta \) 的变化而变化。

**梯度下降法推导过程**：
1. **初始化**：随机选择或设置一个初始参数 \( \theta_0 \)。
2. **计算梯度**：对于每个参数 \( \theta_j \)，计算代价函数关于该参数的偏导数（梯度分量），即 \( \frac{\partial J}{\partial \theta_j} = -2\sum_{i=1}^{m}(y_i - f(x_i))\frac{\partial f}{\partial \theta_j} \)。
3. **更新步骤**：沿着梯度的反方向（负梯度）移动一个学习率 \( \alpha \)，新的参数值为 \( \theta_j := \theta_j - \alpha \cdot \frac{\partial J}{\partial \theta_j} \)。这一步会降低代价函数值，但不一定每次都能达到全局最小值，可能陷入局部最优。
4. **重复**：如果未达到预设的停止条件（如达到一定的迭代次数、学习率减小到阈值等），重复步骤2和3。

**相关问题--:**
1. 最小二乘法在哪些领域应用广泛？
2. 梯度下降法的其他变种有哪些？它们在什么情况下更适用？
3. 如何调整学习率以提高梯度下降法的性能？