高斯牛顿梯度法数学模型推导

高斯牛顿法（Gauss-Newton method）是一种优化算法，主要用于解决非线性最小二乘问题。该方法通过将非线性最小二乘问题转化为一个线性最小二乘问题，来求解模型参数。

假设我们有一个非线性模型 $f(x;\theta)$，其中 $x$ 是输入变量，$\theta$ 是模型参数。我们希望找到最佳的参数 $\theta$，使得模型输出 $y=f(x;\theta)$ 与观测数据 $y_{obs}$ 最接近。

我们可以定义损失函数 $L(\theta)$ 来衡量模型输出与观测数据之间的差异，即：

$$
L(\theta) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y_i - y_{obs,i})^2
$$

其中 $n$ 是观测数据的数量。

为了最小化损失函数 $L(\theta)$，我们可以使用梯度下降法或者牛顿法等数值优化算法。但是，对于非线性模型，梯度下降法的收敛速度可能会很慢，而牛顿法需要计算二阶导数，计算复杂度较高。

高斯牛顿法是一种介于梯度下降法和牛顿法之间的方法，它利用了二阶导数的信息，但避免了计算二阶导数的复杂度。

具体来说，高斯牛顿法通过将非线性最小二乘问题转化为一个线性最小二乘问题，来求解模型参数。假设我们在参数 $\theta_k$ 处进行一次迭代，我们可以将模型在点 $\theta_k$ 处的一阶导数和二阶导数展开为：

$$
\nabla L(\theta_k) \approx J_k^T(y_k - y_{obs}) \\
\nabla^2 L(\theta_k) \approx J_k^T J_k
$$

其中 $J_k$ 是 Jacobian 矩阵，定义为：

$$
J_k = \frac{\partial f(x_i;\theta_k)}{\partial \theta_k}
$$

接下来，我们可以用线性最小二乘法来求解参数的更新量 $\Delta \theta$：

$$
\Delta \theta = -(J_k^T J_k)^{-1} J_k^T(y_k - y_{obs})
$$

然后，我们可以使用更新量来更新参数：

$$
\theta_{k+1} = \theta_k + \Delta \theta
$$

这样，我们就完成了一次迭代。重复执行以上步骤，直到损失函数收敛或达到最大迭代次数为止。

需要注意的是，高斯牛顿法有时可能会因为 Jacobian 矩阵不可逆而出现问题。此外，当模型存在局部最优解时，高斯牛顿法可能会陷入局部最优解而无法收敛到全局最优解。因此，在实际应用中，我们需要结合其他方法来提高算法的鲁棒性和收敛速度。