最小二乘法高斯牛顿法结合

最小二乘法和高斯牛顿法都是常用的非线性优化方法，可以用于拟合非线性模型。最小二乘法通过最小化残差平方和来确定模型参数，而高斯牛顿法则是通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得残差平方和最小化。结合起来，可以利用最小二乘法的优点来确定初始参数，然后再使用高斯牛顿法进行迭代优化，以得到更精确的参数估计。

具体来说，可以先使用最小二乘法来确定初始参数，然后将初始参数代入模型中计算残差和雅可比矩阵，然后使用高斯牛顿法进行迭代优化。在每一次迭代中，根据当前参数计算残差和雅可比矩阵，并利用这些信息来更新参数。重复这个过程直到收敛。

相关问题

最小二乘法高斯牛顿法代码

以下是最小二乘法和高斯牛顿法的 Python 代码示例：

最小二乘法：

import numpy as np

# 构造数据
x = np.array([0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9])
y = np.array([1.2, 1.5, 1.7, 2.0, 2.3])

# 定义模型函数
def model_func(x, a, b):
    return a * x + b

# 定义误差函数
def error_func(params):
    return y - model_func(x, *params)

# 最小二乘法求解
from scipy.optimize import leastsq
params_init = [1, 1]
params_fit, flag = leastsq(error_func, params_init)
print(params_fit)

高斯牛顿法：

import numpy as np

# 构造数据
x = np.array([0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9])
y = np.array([1.2, 1.5, 1.7, 2.0, 2.3])

# 定义模型函数
def model_func(x, a, b):
    return a * x + b
# 定义误差函数的一阶导数和二阶导数
def jacobian(params):
    J = np.empty((len(x), len(params)))
    J[:, 0] = x
    J[:, 1] = 1
    return J

def hessian(params):
    H = np.zeros((len(params), len(params)))
    H[0, 0] = np.sum(x ** 2)
    H[0, 1] = np.sum(x)
    H[1, 0] = np.sum(x)
    H[1, 1] = len(x)
    return H

# 高斯牛顿法求解
params_init = [1, 1]
params_fit = params_init
for i in range(10):
    r = y - model_func(x, *params_fit)
    J = jacobian(params_fit)
    H = hessian(params_fit)
    delta = np.linalg.solve(H, J.T @ r)
    params_fit += delta
print(params_fit)

非线性方程组最小二乘法高斯牛顿最小二乘法matlab代码

非线性方程组最小二乘法是解决非线性方程组问题的一种方法，它利用最小二乘法的思想来求解问题，可以有效地解决很多实际问题。而高斯牛顿最小二乘法是其中的一种算法，也是比较常用的一种。

在matlab中，可以利用以下代码来实现非线性方程组最小二乘法的计算：

function [x, resnorm, residual, exitflag, output, lambda, jacobian] = lsqnonlin(fun,x0,LB,UB,options,varargin)

其中，fun是需要求解的非线性方程组，x0是变量的初始值，LB和UB是变量的上下界，options是优化选项，varargin是额外的参数。该函数将求解结果返回给x、resnorm、residual、exitflag、output、lambda和jacobian这七个变量。

而高斯牛顿最小二乘法的matlab代码实现如下：

function [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = lsqnonlin(FUN,x0,lb,ub,options,varargin) % FUN - function handle

% x0 - starting point

% lb - lower bound

% ub - upper bound

% options - optimization options

% varargin - additional arguments for function handle

% x - solution vector

% resnorm - residual norm squared

% residual - residual vector

% exitflag - optimization exit flag

% output - optimization output

% lambda - Lagrange multipliers

% jacobian - Jacobian matrix

% Initialize variables

x = x0;

resnorm = Inf;

exitflag = -1;

lambda = [];

jacobian = [];

% Run optimization until successful or maximum number of iterations is reached

for iter = 1:options.MaxIter

[F,J] = feval(FUN,x,varargin{:});

residual = F;

resnorm = norm(residual,2)^2;

% Check for successful optimization

if resnorm <= options.TolFun

exitflag = 1;

output.iterations = iter;

break;

end

% Compute next point using Gauss-Newton update

p = -(J'*J)\(J'*residual);

x = x + p;

% Project onto feasible region

if ~isempty(lb)

x(x < lb) = lb(x < lb);

end

if ~isempty(ub)

x(x > ub) = ub(x > ub);

end

end

% Return Lagrange multipliers and Jacobian matrix

if nargout > 5

lambda = (-J'*J)\(J'*residual);

end

if nargout > 6

jacobian = J;

end

% Create output structure

if exitflag ~= 1

output.iterations = iter;

end

output.funcCount = iter;

output.algorithm = 'Gauss-Newton';

output.message = sprintf('Optimization terminated.');

% Display warning if maximum number of iterations is reached

if iter == options.MaxIter && exitflag ~= 1

warning('lsqnonlin:MaxIterReached','Maximum number of iterations reached without convergence.');

end

该代码使用了feval函数来求解非线性方程组，使用了高斯牛顿法求解最小化问题。其中，options是优化选项，可以设置包括最大迭代次数、函数值容许误差等多个参数。函数返回求解的解向量x，残差的平方和resnorm，残差向量residual，退出标志exitflag，优化输出output，拉格朗日乘数lambda和雅各比矩阵jacobian。