最小二乘法高斯牛顿法结合

最小二乘法和高斯牛顿法都是常用的非线性优化方法，可以用于拟合非线性模型。最小二乘法通过最小化残差平方和来确定模型参数，而高斯牛顿法则是通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得残差平方和最小化。结合起来，可以利用最小二乘法的优点来确定初始参数，然后再使用高斯牛顿法进行迭代优化，以得到更精确的参数估计。

具体来说，可以先使用最小二乘法来确定初始参数，然后将初始参数代入模型中计算残差和雅可比矩阵，然后使用高斯牛顿法进行迭代优化。在每一次迭代中，根据当前参数计算残差和雅可比矩阵，并利用这些信息来更新参数。重复这个过程直到收敛。

相关问题

最小二乘法高斯牛顿法代码

以下是最小二乘法和高斯牛顿法的 Python 代码示例：

最小二乘法：

import numpy as np

# 构造数据
x = np.array([0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9])
y = np.array([1.2, 1.5, 1.7, 2.0, 2.3])

# 定义模型函数
def model_func(x, a, b):
    return a * x + b

# 定义误差函数
def error_func(params):
    return y - model_func(x, *params)

# 最小二乘法求解
from scipy.optimize import leastsq
params_init = [1, 1]
params_fit, flag = leastsq(error_func, params_init)
print(params_fit)

高斯牛顿法：

import numpy as np

# 构造数据
x = np.array([0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9])
y = np.array([1.2, 1.5, 1.7, 2.0, 2.3])

# 定义模型函数
def model_func(x, a, b):
    return a * x + b
# 定义误差函数的一阶导数和二阶导数
def jacobian(params):
    J = np.empty((len(x), len(params)))
    J[:, 0] = x
    J[:, 1] = 1
    return J

def hessian(params):
    H = np.zeros((len(params), len(params)))
    H[0, 0] = np.sum(x ** 2)
    H[0, 1] = np.sum(x)
    H[1, 0] = np.sum(x)
    H[1, 1] = len(x)
    return H

# 高斯牛顿法求解
params_init = [1, 1]
params_fit = params_init
for i in range(10):
    r = y - model_func(x, *params_fit)
    J = jacobian(params_fit)
    H = hessian(params_fit)
    delta = np.linalg.solve(H, J.T @ r)
    params_fit += delta
print(params_fit)

最小二乘法高斯牛顿 matlab代码

最小二乘法和高斯牛顿法都是用来求解非线性最小二乘问题的方法。下面是MATLAB代码实现：

最小二乘法：

function [x,resnorm,residual,exitflag,output] = mylsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options,varargin)
% fun: 目标函数
% x0: 初始解
% lb: 下界
% ub: 上界
% options: 选项

% 设置默认选项
defaultopt = struct('Display','final','TolX',1e-6,'TolFun',1e-6,'MaxIter',400,'MaxFunEvals',10000);
if nargin == 5
    options = [];
end
options = setdefaultoptions(options,defaultopt);

% 求解
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options,varargin{:});
end

高斯牛顿法：

function [x,resnorm,residual,exitflag,output] = mylsqnonlin_gn(fun,x0,lb,ub,options,varargin)
% fun: 目标函数
% x0: 初始解
% lb: 下界
% ub: 上界
% options: 选项

% 设置默认选项
defaultopt = struct('Display','final','TolX',1e-6,'TolFun',1e-6,'MaxIter',400,'MaxFunEvals',10000);
if nargin == 5
    options = [];
end
options = setdefaultoptions(options,defaultopt);

% 求解
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options,varargin{:},'Jacob',@myjacobian);
end

function J = myjacobian(x,varargin)
% 计算雅克比矩阵
% x: 当前解
% varargin: 其他参数

% 计算偏导数
J = zeros(length(varargin{1}),length(x));
h = 1e-8;
for i = 1:length(x)
    x1 = x;
    x1(i) = x1(i) + h;
    f1 = feval(varargin{:},x1);
    x1(i) = x1(i) - 2*h;
    f2 = feval(varargin{:},x1);
    J(:,i) = (f1 - f2) / (2*h);
end
end

其中，`mylsqnonlin`和`mylsqnonlin_gn`分别是最小二乘法和高斯牛顿法的函数实现，`fun`是目标函数，`x0`是初始解，`lb`和`ub`是变量下界和上界，`options`是选项参数。在高斯牛顿法中，需要计算雅克比矩阵，可以通过`myjacobian`函数实现。