ceres实现最优估计算法，C++分别实现牛顿法、高斯牛顿法，阻尼最小二乘法

Ceres是一个C++库，用于实现非线性最优化问题，其中包括最小二乘问题。Ceres支持多种算法，包括牛顿法、高斯牛顿法和阻尼最小二乘法。

牛顿法和高斯牛顿法都是迭代算法，用于求解最小二乘问题。其中，牛顿法利用二阶导数信息进行迭代，每次迭代需要计算并存储Hessian矩阵，因此对于大规模问题而言，存储和计算Hessian矩阵的复杂度会很高。高斯牛顿法是一种近似牛顿法，它利用一阶导数信息进行迭代，并使用雅可比矩阵代替Hessian矩阵。由于雅可比矩阵的计算和存储复杂度相对较低，因此高斯牛顿法在解决大规模问题时具有优势。

阻尼最小二乘法是一种常用的非线性最小二乘算法，在解决非线性问题时表现良好。与牛顿法和高斯牛顿法相比，阻尼最小二乘法不需要计算Hessian矩阵或雅可比矩阵，因此对于大规模问题而言，它的计算和存储复杂度都相对较低。

在Ceres中，实现这些算法是非常简单的。用户只需要定义一个继承自ceres::CostFunction的类，实现CostFunction::Evaluate方法，然后将该CostFunction对象传递给ceres::Problem对象。Ceres会自动选择合适的算法，并进行迭代求解。

相关问题

ceres实现最优估计算法，牛顿法、高斯牛顿法，阻尼最小二乘法 C++实现

Ceres是一款开源的C++库，用于实现非线性最小二乘问题的求解。它支持许多常见的最优化算法，包括牛顿法、高斯牛顿法和阻尼最小二乘法。

牛顿法是一种迭代法，用于寻找非线性函数的最小值。它使用函数的一阶和二阶导数来逼近函数，并使用这些信息来更新当前解的位置。Ceres实现了一种变形的牛顿法，称为LM（Levenberg-Marquardt）算法，它使用一个参数来平衡牛顿法和梯度下降法之间的权衡。

高斯牛顿法是一种迭代法，用于寻找非线性函数的最小值。它使用函数的一阶导数和雅克比矩阵来逼近函数，并使用这些信息来更新当前解的位置。Ceres实现了一种变形的高斯牛顿法，称为Schur-Jacobi算法，它使用一个参数来平衡高斯牛顿法和梯度下降法之间的权衡。

阻尼最小二乘法是一种迭代法，用于寻找非线性函数的最小值。它使用函数的一阶导数和雅克比矩阵来逼近函数，并使用这些信息来更新当前解的位置。不同于牛顿法和高斯牛顿法，阻尼最小二乘法在更新步长时引入了一个阻尼因子，以避免步长过大，从而导致求解过程不稳定。

下面是一个使用Ceres实现最小二乘问题的示例代码：

#include <iostream>
#include "ceres/ceres.h"

using namespace std;

// 定义残差函数
struct CostFunctor {
    template <typename T>
    bool operator()(const T* const x, T* residual) const {
        residual[0] = T(10.0) - x[0];
        return true;
    }
};

int main(int argc, char** argv) {
    // 初始化问题
    ceres::Problem problem;

    // 添加变量
    double x = 0.5;
    problem.AddParameterBlock(&x, 1);

    // 添加残差项
    ceres::CostFunction* cost_function =
        new ceres::AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 1>(new CostFunctor);
    problem.AddResidualBlock(cost_function, nullptr, &x);

    // 设置求解选项
    ceres::Solver::Options options;
    options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR;
    options.minimizer_progress_to_stdout = true;

    // 求解问题
    ceres::Solver::Summary summary;
    ceres::Solve(options, &problem, &summary);

    // 输出结果
    cout << summary.BriefReport() << endl;
    cout << "x = " << x << endl;

    return 0;
}

在这个例子中，我们定义了一个简单的残差函数，它的目标是让变量x的值接近10。然后，我们使用Ceres来求解这个最小二乘问题。我们首先将变量x添加到问题中，并添加一个残差项。然后，我们设置求解选项并调用ceres::Solve函数来求解问题。最后，我们输出求解结果。

这只是一个简单的例子，Ceres还支持更复杂的问题和算法。如果你想深入了解Ceres的使用，请参考官方文档。

ceres 代码分别实现牛顿法、高斯牛顿法，阻尼最小二乘法最优估计算法 C++

下面是Ceres中分别实现牛顿法、高斯牛顿法和阻尼最小二乘法的代码示例：

牛顿法：

#include <iostream>
#include "ceres/ceres.h"

struct CostFunctor {
  template <typename T>
  bool operator()(const T* const x, T* residual) const {
    residual[0] = T(x[0]) - T(2.0);
    return true;
  }
};

int main(int argc, char** argv) {
  google::InitGoogleLogging(argv[0]);

  double x = 0.5;

  ceres::Problem problem;
  problem.AddResidualBlock(new ceres::AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 1>(new CostFunctor), nullptr, &x);

  ceres::Solver::Options options;
  options.minimizer_progress_to_stdout = true;
  options.minimizer_type = ceres::TRUST_REGION_NEWTON;
  ceres::Solver::Summary summary;
  ceres::Solve(options, &problem, &summary);
  std::cout << summary.FullReport() << std::endl;

  return 0;
}

高斯牛顿法：

#include <iostream>
#include "ceres/ceres.h"

struct CostFunctor {
  template <typename T>
  bool operator()(const T* const x, T* residual) const {
    residual[0] = T(x[0]) - T(2.0);
    return true;
  }
};

int main(int argc, char** argv) {
  google::InitGoogleLogging(argv[0]);

  double x = 0.5;

  ceres::Problem problem;
  problem.AddResidualBlock(new ceres::AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 1>(new CostFunctor), nullptr, &x);

  ceres::Solver::Options options;
  options.minimizer_progress_to_stdout = true;
  options.minimizer_type = ceres::TRUST_REGION;
  options.trust_region_strategy_type = ceres::DOGLEG;
  ceres::Solver::Summary summary;
  ceres::Solve(options, &problem, &summary);
  std::cout << summary.FullReport() << std::endl;

  return 0;
}

阻尼最小二乘法：

#include <iostream>
#include "ceres/ceres.h"

struct CostFunctor {
  template <typename T>
  bool operator()(const T* const x, T* residual) const {
    residual[0] = T(x[0]) - T(2.0);
    return true;
  }
};

int main(int argc, char** argv) {
  google::InitGoogleLogging(argv[0]);

  double x = 0.5;

  ceres::Problem problem;
  problem.AddResidualBlock(new ceres::AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 1>(new CostFunctor), nullptr, &x);

  ceres::Solver::Options options;
  options.minimizer_progress_to_stdout = true;
  options.minimizer_type = ceres::TRUST_REGION;
  options.dogleg_type = ceres::SUBSPACE_DOGLEG;
  options.use_nonmonotonic_steps = true;
  ceres::Solver::Summary summary;
  ceres::Solve(options, &problem, &summary);
  std::cout << summary.FullReport() << std::endl;

  return 0;
}

在上述代码中，我们可以看到，分别实现牛顿法、高斯牛顿法和阻尼最小二乘法的代码非常相似，只需要在Solver::Options对象中设置不同的参数即可。例如，要使用牛顿法进行求解，只需要将options.minimizer_type设置为ceres::TRUST_REGION_NEWTON；要使用高斯牛顿法进行求解，只需要将options.minimizer_type设置为ceres::TRUST_REGION，同时将options.trust_region_strategy_type设置为ceres::DOGLEG；要使用阻尼最小二乘法进行求解，只需要将options.minimizer_type设置为ceres::TRUST_REGION，同时将options.dogleg_type设置为ceres::SUBSPACE_DOGLEG，并将options.use_nonmonotonic_steps设置为true。