用c++写一个fft算法

好的，以下是一个简单的 C++ 实现 FFT 的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef complex<double> cpx;
const double PI = acos(-1);

void fft(vector<cpx>& a, bool invert) {
    int n = a.size();
    for (int i = 1, j = 0; i < n; i++) {
        int bit = n >> 1;
        for (; j & bit; bit >>= 1) j ^= bit;
        j ^= bit;
        if (i < j) swap(a[i], a[j]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) {
        double ang = 2 * PI / len * (invert ? -1 : 1);
        cpx wlen(cos(ang), sin(ang));
        for (int i = 0; i < n; i += len) {
            cpx w(1);
            for (int j = 0; j < len / 2; j++) {
                cpx u = a[i + j], v = a[i + j + len / 2] * w;
                a[i + j] = u + v;
                a[i + j + len / 2] = u - v;
                w *= wlen;
            }
        }
    }
    if (invert) {
        for (int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n;
    }
}

vector<int> multiply(vector<int>& a, vector<int>& b) {
    vector<cpx> fa(a.begin(), a.end()), fb(b.begin(), b.end());
    int n = 1;
    while (n < a.size() + b.size()) n <<= 1;
    fa.resize(n); fb.resize(n);
    fft(fa, false); fft(fb, false);
    for (int i = 0; i < n; i++) fa[i] *= fb[i];
    fft(fa, true);
    vector<int> res(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) res[i] = round(fa[i].real());
    return res;
}

int main() {
    vector<int> a = {1, 2, 3}, b = {4, 5, 6};
    vector<int> c = multiply(a, b);
    for (auto x : c) cout << x << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

这里给出的是基于分治思想的 Cooley-Tukey FFT 算法，可以实现 $O(n\log n)$ 的复杂度。其中 `fft()` 函数接受一个向量 `a` 和一个布尔值 `invert`，表示是否进行逆变换。在 `multiply()` 函数中，我们将两个多项式分别转化为向量并进行乘法运算，最后将结果转化回多项式形式。