用python实现使用涡量-流函数方法计算方腔驱动流问题的代码

涡量-流函数方法是一种求解流体力学问题的数值方法，适用于二维不可压缩流的稳态和定常问题。下面是使用Python实现求解方腔驱动流问题的代码。

首先，需要导入以下库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

接着，定义一些模拟流体的参数：

# 模拟参数
L = 1.0  # 正方形腔室的边长
H = 1.0  # 高度
N = 50  # 离散化后网格的数量
dx = L / (N - 1)  # 离散化后网格的大小
dt = 0.001  # 时间步长
T = 1000  # 模拟时间
rho = 1.0  # 流体密度
nu = 0.1  # 动力粘度

然后，初始化流场的速度和压力：

# 初始化速度和压力
u = np.zeros((N, N))
v = np.zeros((N, N))
p = np.zeros((N, N))

接着，定义一个函数来计算涡量和流函数：

def get_psi_omega(u, v, dx):
    # 计算涡量和流函数
    psi = np.zeros((N, N))
    omega = np.zeros((N, N))
    for i in range(1, N - 1):
        for j in range(1, N - 1):
            omega[i, j] = ((v[i + 1, j] - v[i - 1, j]) / (2 * dx)
                           - (u[i, j + 1] - u[i, j - 1]) / (2 * dx))
            psi[i, j] = psi[i - 1, j] + u[i, j] * dx
    return psi, omega

接着，定义一个函数来更新速度和压力：

def update(u, v, p, rho, nu, dx, dt):
    # 计算涡量和流函数
    psi, omega = get_psi_omega(u, v, dx)

    # 更新速度
    u[1:-1, 1:-1] = (u[1:-1, 1:-1]
                     - dt * (psi[1:-1, 2:] - psi[1:-1, :-2]) / (2 * dx)
                     + dt * nu * ((u[2:, 1:-1] - 2 * u[1:-1, 1:-1] + u[:-2, 1:-1]) / dx**2 +
                                  (u[1:-1, 2:] - 2 * u[1:-1, 1:-1] + u[1:-1, :-2]) / dx**2))

    v[1:-1, 1:-1] = (v[1:-1, 1:-1]
                     - dt * (psi[2:, 1:-1] - psi[:-2, 1:-1]) / (2 * dx)
                     + dt * nu * ((v[2:, 1:-1] - 2 * v[1:-1, 1:-1] + v[:-2, 1:-1]) / dx**2 +
                                  (v[1:-1, 2:] - 2 * v[1:-1, 1:-1] + v[1:-1, :-2]) / dx**2))

    # 边界条件
    u[0, :] = 0
    u[-1, :] = 0
    u[:, 0] = 0
    u[:, -1] = 1  # 顶部固定为1

    v[0, :] = 0
    v[-1, :] = 0
    v[:, 0] = 0
    v[:, -1] = 0

    # 更新压力
    p_old = np.copy(p)
    div = ((u[1:-1, 2:] - u[1:-1, :-2]) / (2 * dx) +
           (v[2:, 1:-1] - v[:-2, 1:-1]) / (2 * dx))
    p[1:-1, 1:-1] = ((p[1:-1, 2:] + p[1:-1, :-2]) * dx**2 * rho / (2 * dt)
                     + (p[2:, 1:-1] + p[:-2, 1:-1]) * dx**2 * rho / (2 * dt)
                     - rho * dx**2 * div) / (2 * (dx**2 + dx**2))

    # 边界条件
    p[0, :] = p[1, :]
    p[-1, :] = p[-2, :]
    p[:, 0] = p[:, 1]
    p[:, -1] = p[:, -2]

    return u, v, p

接着，进行主循环：

# 主循环
for n in range(int(T / dt)):
    u, v, p = update(u, v, p, rho, nu, dx, dt)

    # 绘制速度和压力的图像
    if n % 100 == 0:
        plt.clf()
        plt.quiver(u, v)
        plt.title(f"流场演化 t = {n * dt:.2f}")
        plt.pause(0.001)

最后，运行代码并观察结果：

plt.ion()
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.axis([0, N, 0, N])
plt.gca().set_aspect("equal")
for n in range(int(T / dt)):
    u, v, p = update(u, v, p, rho, nu, dx, dt)

    # 绘制速度和压力的图像
    if n % 100 == 0:
        plt.clf()
        plt.quiver(u, v)
        plt.title(f"流场演化 t = {n * dt:.2f}")
        plt.pause(0.001)

plt.ioff()
plt.show()

运行结果如下图所示：