A[4][4] = {{1,2,3,6}, {2,4,1,6}, {3,2,-1,3},{2,0,1,3}}实现Gram-Schmit正交化对矩阵进行QR分解得出答案

对于给定的矩阵 `A`，我们首先将其转换为列向量形式，然后逐列进行 Gram-Schmidt 正交化。由于这个操作是针对列的，我们需要先创建一个向量数组 `basis` 来存储经过正交化的列向量，并初始化 R 部分的对角元素。

以下是针对 `A` 的具体步骤：

1. 将矩阵 `A` 转换为列向量数组 `basis`：
- 假设 `basis[0]` 对应于第一列，`basis[1]` 对应于第二列，依此类推。
- 对于每个列，创建一个新的向量并复制该列的数据。

2. 应用 Gram-Schmidt 正交化过程：
- 对于每列 `basis[i]`，从 `basis[0]` 到 `basis[i-1]` 中找到投影项并减去，然后规范化得到正交化的向量。

3. 维度检查：如果 m（行数）小于 n（列数），则在正交化最后一列之前，需要确认是否有足够的剩余列（即 m >= n）。如果没有，这表明 R 是满秩的，可以直接停止正交化。

4. 构建 R 部分：R 是一个 m x m 的上三角矩阵，对角元素对应于正交化列向量的最后一个坐标。

下面是伪代码（C语言风格，未包含完整的初始化、异常处理和打印部分）:

for (int k = 0; k < n; ++k) {
    Vector* current_column = &basis[k]; // 当前列向量
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        // 减去前面正交化列的投影
        double proj = dot_product(&basis[i], current_column);
        current_column->data[k] -= proj * basis[i].data[k];

        // 更新 R
        basis[i].data[k] *= (n - k); // 根据 Gram-Schmidt 的性质更新 R
    }

    // 正规化当前列
    normalize(current_column);
}

在这个例子中，`basis` 数组将会存储最终的正交列向量，而 R 可以通过 `basis[i].data[i]` 获取每一行的值。注意，这里的 R 实际上包含了原始数据乘以 (n-i)，因为 Gram-Schmidt 的公式涉及到这部分。