x½/（2-x½ ）的原函数

时间: 2023-08-31 16:52:24 浏览: 184

如何求原函数

4星 · 用户满意度95%

### 如何求原函数 #### 一、原函数与不定积分的基本概念 1. **原函数定义**：如果对于区间\(I\)内的任意\(x\)，都有\(\frac{d}{dx}F(x) = f(x)\)，那么称\(F(x)\)为\(f(x)\)的一个原函数。 - **示例**：由于\(\frac{d}{dx}\sin x = \cos x\)，因此\(\sin x\)是\(\cos x\)的一个原函数。 2. **原函数的性质**： - **存在性**：如果\(f(x)\)在区间\(I\)内连续，则存在一个原函数\(F(x)\)。 - **非唯一性**：若\(F(x)\)为\(f(x)\)的一个原函数，则\(F(x) + C\)（\(C\)为任意常数）也是\(f(x)\)的原函数。 - **等价性**：若\(F(x)\)和\(G(x)\)都是\(f(x)\)的原函数，则存在一个常数\(C\)使得\(F(x) - G(x) = C\)。 - **全体原函数表示**：若\(F(x)\)为\(f(x)\)的一个原函数，则\(f(x)\)的所有原函数可以表示为\(F(x) + C\)，其中\(C\)为任意常数。 #### 二、不定积分的定义与表示 1. **不定积分定义**：函数\(f(x)\)在区间\(I\)上的全体原函数称为\(f(x)\)在\(I\)上的不定积分，记作\(\int f(x)dx\)。 - \(\int\)称为积分号。 - \(f(x)\)称为被积函数。 - \(f(x)dx\)称为被积表达式。 - \(x\)称为积分变量。 2. **不定积分的表示**：如果\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，则有\(\int f(x)dx = F(x) + C\)，其中\(C\)为任意常数。 #### 三、基本求解方法 1. **基本积分公式**： - \(\int kdx = kx + C\)（\(k\)为常数） - \(\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)（\(n \neq -1\)） - \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\) - \(\int e^x dx = e^x + C\) - \(\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C\) - \(\int \cos x dx = \sin x + C\) - \(\int \sin x dx = -\cos x + C\) - \(\int \sec^2 x dx = \tan x + C\) - \(\int \csc^2 x dx = -\cot x + C\) 2. **求解实例**： - 求\(\int x^5 dx\)。 - 解答：由于\((\frac{1}{6}x^6)’ = x^5\)，因此\(\int x^5 dx = \frac{1}{6}x^6 + C\)。 - 求\(\int \frac{1}{1 + x^2} dx\)。 - 解答：由基本积分公式可知，\(\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C\)。 - 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程。 - 解答：设曲线方程为\(y = f(x)\)。由条件知\(y' = 2x\)，即\(\int y' dx = \int 2x dx\)。因此，\(y = x^2 + C\)。代入点（1，2）得到\(2 = 1^2 + C\)，从而\(C = 1\)。所以曲线方程为\(y = x^2 + 1\)。 #### 四、不定积分的几何意义 - **积分曲线**：函数\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)的图形称为\(f(x)\)的积分曲线。 - **导数与不定积分的关系**：导数运算与求不定积分的运算是互逆的。具体而言， - 如果\(F(x) = \int f(x)dx\)，则\(\frac{d}{dx}F(x) = f(x)\)。 - 如果\(\frac{d}{dx}F(x) = f(x)\)，则\(\int f(x)dx = F(x) + C\)。以上介绍了求原函数及不定积分的基本概念、性质、求解方法及其几何意义。通过这些知识点的学习，可以帮助我们更好地理解和掌握不定积分的相关理论与应用。

我们可以进行变量代换，令u = x^(1/2)，则x = u^2。那么原式就变为： ∫ x^(1/2) / (2 - x^(1/2)) dx = ∫ u^2 / (2 - u) * 2u du = ∫ (2u^3) / (2 - u) du - ∫ u^2 du 可以使用部分分式分解法进行求解，得到原式的结果为： (4/3) * (2 - x^(1/2))^(3/2) - (1/3) * x^(3/2) + C 其中C为任意常数。

阅读全文

x½/（2-x½ ）的原函数

相关推荐

ft61f14x 使用手册

用于React的½kb状态机钩子-React开发

t½/（2-t½ ）的原函数

t/（2-t½ ）的原函数

概率论与数理统计A[2018-19-II+A卷]1

word进行文件版本控制的宏代码（原创）

MATLAB数值分析实验代码：f, h, g函数插值

Python编程实践：ord()函数背后的字符表示原理

如何用c++描述π/2+（arcsin²（x）+c²）½

基于Java的家庭理财系统设计与开发-金融管理-家庭财产管理-实用性强

弹性盒子Flexbox布局.docx

网络财务系统 SSM毕业设计 附带论文.zip

联想电脑的bios设置

1_教务处关于云南师范大学2024年大学生科研训练基金项目立项申报工作的通知 (1).zip

基于Python实现的自然语言处理大作业-方面情感分析+源代码+文档说明+实验报告

基于Python的Web安全扫描软件设计与实现

【java毕业设计】教学质量评价系统源码（ssm+jsp+mysql+说明文档+LW）.zip

【超强组合】基于VMD-龙格库塔优化算法RUN-Transformer-GRU的光伏预测算研究Matlab实现.rar

最新推荐

ArcGIS教程：半变异函数与协方差函数

基于Java的家庭理财系统设计与开发-金融管理-家庭财产管理-实用性强

探索数据转换实验平台在设备装置中的应用

管理建模和仿真的文件

ggflags包的国际化问题：多语言标签处理与显示的权威指南

如何使用MATLAB实现电力系统潮流计算中的节点导纳矩阵构建和阻抗矩阵转换，并解释这两种矩阵在潮流计算中的作用和差异？

使用git-log-to-tikz.py将Git日志转换为TIKZ图形

"互动学习：行动中的多样性与论文攻读经历"

ggflags包的定制化主题与调色板：个性化数据可视化打造秘籍

如何使用Matlab进行风电场风速模拟，并结合Weibull分布和智能优化算法预测风速？

网络财务系统 SSM毕业设计附带论文.zip