概述论与数理统计中,什么是全概率公式,请举考试题型
时间: 2024-05-25 14:18:23 浏览: 19
全概率公式是指在一组完备事件的情况下,计算某一事件的概率时,利用条件概率和全概率的关系来计算的公式。具体而言,如果事件B是一组互不相容的事件A1,A2,...,An 的并集,即 B = A1∪A2∪...∪An,那么全概率公式可以表示为:P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An)。
以下是一个考试题型:
假设有两个工厂 A 和 B,它们分别生产同一种产品,其中 A 工厂的产品次品率为 10%,而 B 工厂的产品次品率为 20%。现在需要从这两个工厂中随机选取一家,然后从选中的工厂中随机抽取一件产品,请问这件产品是次品的概率是多少?
解答:根据全概率公式,可以将事件“这件产品是次品”表示为 A 和 B 两个事件的并集,即 P(次品) = P(次品|A)P(A) + P(次品|B)P(B)。其中 P(A) 和 P(B) 分别表示从 A 工厂和 B 工厂随机选取的概率,由于两个工厂的概率相等,因此 P(A) = P(B) = 0.5。而 P(次品|A) 和 P(次品|B) 分别表示从 A 工厂和 B 工厂中随机抽取的产品是次品的概率,分别为 0.1 和 0.2。因此,代入公式得到 P(次品) = 0.5 × 0.1 + 0.5 × 0.2 = 0.15,即这件产品是次品的概率为 15%。
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概述论与数理统计中,什么是乘法公式,请举考试题型
乘法公式是概率论和数理统计中的一种计算概率的方法,用于计算多个事件同时发生的概率。乘法公式指出,对于两个独立事件A和B,它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
乘法公式的数学表示为:P(A∩B) = P(A) × P(B)
其中,P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率,P(A)表示事件A发生的概率,P(B)表示事件B发生的概率。
以下是一个应用乘法公式的考试题型:
一家超市销售三种不同品牌的牛奶,分别为A、B、C牌。已知购买A牌牛奶的概率为0.4,购买B牌牛奶的概率为0.3,购买C牌牛奶的概率为0.3。若一位顾客购买两瓶牛奶,且两瓶牛奶品牌不同,求该顾客购买A牌和B牌牛奶的概率。
解题思路:由于购买两瓶牛奶,且两瓶牛奶品牌不同,因此可以将该事件分解为两个独立事件,即第一瓶牛奶为A或B牌,第二瓶牛奶为B或A牌。根据乘法公式,可得该顾客购买A牌和B牌牛奶的概率为P(A)×P(B) + P(B)×P(A) = 0.4×0.3 + 0.3×0.4 = 0.24。
概述论与数理统计中,什么是泊松分布,请举考试题型及解答
泊松分布是一种离散概率分布,用于描述在一定时间或空间内,某一事件发生的次数。泊松分布的概率密度函数为:
P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
其中,λ是单位时间或空间内事件发生的平均次数,k是事件发生的次数。
下面是一个泊松分布的考试题型及解答:
问题:某餐厅每小时平均接待10位顾客,求下列情况的概率:
a. 在某个小时内接待了12位顾客的概率;
b. 在连续两个小时内接待了20位顾客的概率。
解答:
a. 根据泊松分布的公式,λ=10,k=12,代入公式可得:
P(X=12) = (10^12 * e^(-10)) / 12! ≈ 0.103
因此,在某个小时内接待了12位顾客的概率约为0.103。
b. 由于连续两个小时内接待的顾客数服从泊松分布,且每小时平均接待10位顾客,则两小时内平均接待20位顾客,即λ=20。设X为连续两个小时内接待的顾客数,则X服从泊松分布,其概率密度函数为:
P(X=k) = (20^k * e^(-20)) / k!
则两小时内接待了20位顾客的概率为:
P(X=20) = (20^20 * e^(-20)) / 20! ≈ 0.027
因此,在连续两个小时内接待了20位顾客的概率约为0.027。
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