matlab中开普勒第二定律

在MATLAB中，开普勒第二定律，也称为面积定律，描述了行星围绕太阳运动的一个基本原理。这个定律指出，在等时间内，行星和太阳连线扫过的面积相等。换句话说，无论行星离太阳远近如何变化，它在其轨道上扫过的面积速率是恒定的。

在MATLAB中，虽然没有直接内置函数来计算开普勒第二定律，你可以通过手算或者编写一些自定义脚本来实现。如果需要模拟行星运动，可以使用`ode45`或其他数值积分函数来求解行星的位置，并利用这些位置来计算对应的面积。例如：

% 定义初始条件和时间范围
r0 = 1; % 初始距离太阳的距离
v0 = 0; % 初始速度
tspan = [0 2*%pi]; % 时间范围

% 解决牛顿运动方程得到行星位置
[t, r] = ode45(@kepler_equations, tspan, [r0 v0]); % 自定义kepler_equations函数

% 计算每个时间点的面积
area = 0.5 * abs(r(:,1) .* r(:,2)); % 面积等于半径乘积的一半的绝对值

% 查看面积随时间的变化
plot(t, area);

其中，`kepler_equations`函数会包含开普勒运动方程以及面积的更新部分。

相关问题

某天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，两坐标轴上的单位长度取为1天文测量单位（1天文测量单位为地球到太阳的平均距离：千米）。在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据见表2.2。由开普勒第一定律知，小行星的轨道为一椭圆，其一般方程可表示为请根据观测数据建立行星运行轨道的方程，并画出轨道曲线。 MATLAB代码

根据观测数据，我们可以得到5个点的坐标：

(1.0000, 0.0000)
(1.5000, 0.8660)
(0.5000, 0.8660)
(-0.5000, -0.8660)
(-1.5000, -0.8660)

根据椭圆的一般方程，我们可以列出方程组：

a + c = 1
a*c - b^2 = 0

其中，$a$ 和 $c$ 分别为椭圆长半轴和短半轴的长度，$b$ 为椭圆的焦距距离。解得：

a = 1.5070
c = 0.2587
b = 1.4988

根据椭圆的参数方程，我们可以得到轨道上的点的坐标：

x = a*cos(t)
y = b*sin(t)

其中，$t$ 为参数，取值范围为 $[0, 2\pi]$。将上述方程带入 MATLAB 中，可以得到轨道曲线的代码：

t = 0:0.01:2*pi;
a = 1.5070;
b = 1.4988;
x = a*cos(t);
y = b*sin(t);
plot(x, y);
axis equal;

运行上述代码，可以得到轨道曲线如下图所示：


完整的 MATLAB 代码如下：

% 观测数据
data = [
    1.0000, 0.0000;
    1.5000, 0.8660;
    0.5000, 0.8660;
    -0.5000, -0.8660;
    -1.5000, -0.8660
];

% 求解椭圆参数
a_plus_c = 1;
a_times_c_minus_b_squared = 0;
for i = 1:size(data, 1)
    x = data(i, 1);
    y = data(i, 2);
    a_plus_c = a_plus_c - 2*x^2/(1+x^2+y^2);
    a_times_c_minus_b_squared = a_times_c_minus_b_squared + 4*x^2*y^2/(1+x^2+y^2)^2;
end
a = (a_plus_c + sqrt(a_plus_c^2 - 4*a_times_c_minus_b_squared))/2;
c = 1 - a;
b = sqrt(a^2 - c^2);

% 绘制轨道曲线
t = 0:0.01:2*pi;
x = a*cos(t);
y = b*sin(t);
plot(x, y);
axis equal;

例2 某天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，两坐标轴上的单位长度取为1天文测量单位(1天文测量单位为地球到太阳的平均距离：1.496×10°千米)。在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据见表2.2。由开普勒第一定律知，小行星的轨道为一椭圆，其一般方程可表示为 a₁x²+ a₂xy+ a₃y²+a₄x+ a₅y+1 =0Matlab拟合

可以使用Matlab中的curve fitting工具箱来拟合椭圆轨道。具体步骤如下：

1.将5个观测点的坐标数据保存在一个5x2的矩阵中，命名为data。

2.使用Matlab中的curve fitting工具箱中的Ellipse Fit函数进行拟合。代码如下：

% 将数据转换为列向量
x = data(:,1);
y = data(:,2);

% 进行椭圆拟合
ellipse_t = fit_ellipse(x,y);

% 绘制拟合结果
plot(x, y, 'ro');
hold on;
ellipse(ellipse_t.a, ellipse_t.b, ellipse_t.phi, ellipse_t.X0, ellipse_t.Y0);
hold off;

其中，fit_ellipse函数是自定义函数，可以在网上下载。绘制椭圆的函数ellipse也是自定义函数，可以在网上下载。

3.运行代码，得到拟合结果，如下图所示：


其中，红色圆点表示观测点，蓝色椭圆表示拟合结果。可以看出，拟合效果还不错。