用真值表方法求P→Q 等价 R 的主析取范式和主合取范式

对于 P→Q 等价于 R，我们可以先列出真值表：

| P | Q | R | P → Q | R | P → Q ≡ R |
|---|---|---|-------|---|------------|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

接下来，我们可以使用主合取范式和主析取范式来表示 P→Q 等价于 R。

主析取范式：(¬P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R)

主合取范式： (P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ ¬Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ Q ∨ ¬R)

注意，主析取范式和主合取范式是通过真值表中为真的行来构建的。这两种表达式都等价于 P→Q 等价于 R，因为它们在真值表中具有相同的真值。

相关问题

利用C语言编写代码满足下列要求：用户输入公式，写出公式的真值表以及主析取范式、主合取范式并判断公式类型

好的，我理解了你的问题。以下是一个简单的C语言程序，可以根据用户输入的公式生成真值表，并计算主析取范式和主合取范式。程序假设输入的公式只包含变量、非运算符、与运算符和或运算符。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>

#define MAX_VARIABLES 10   // 最大变量数
#define MAX_FORMULA_LENGTH 100   // 最大公式长度

// 定义结构体表示公式
struct Formula {
    int variables[MAX_VARIABLES];   // 变量表
    char operation[MAX_FORMULA_LENGTH];   // 运算符表
    int length;   // 公式长度
};

// 将一个十进制数转换为二进制字符串
char* decimal_to_binary(int decimal, int num_bits) {
    char* binary = (char*) malloc(num_bits + 1);
    for (int i = num_bits - 1; i >= 0; i--) {
        binary[i] = (decimal % 2) + '0';
        decimal /= 2;
    }
    binary[num_bits] = '\0';
    return binary;
}

// 计算公式的值
int calculate_formula_value(struct Formula* formula, int input_values[]) {
    int stack[MAX_FORMULA_LENGTH];   // 操作数栈
    int top = 0;   // 栈顶指针
    for (int i = 0; i < formula->length; i++) {
        if (formula->operation[i] == '!') {
            int operand = stack[--top];
            stack[top++] = !operand;
        } else if (formula->operation[i] == '&') {
            int operand2 = stack[--top];
            int operand1 = stack[--top];
            stack[top++] = operand1 && operand2;
        } else if (formula->operation[i] == '|') {
            int operand2 = stack[--top];
            int operand1 = stack[--top];
            stack[top++] = operand1 || operand2;
        } else {
            stack[top++] = input_values[formula->variables[i]];
        }
    }
    return stack[0];
}

// 打印真值表
void print_truth_table(struct Formula* formula) {
    int num_variables = 0;
    for (int i = 0; i < MAX_VARIABLES; i++) {
        if (formula->variables[i] != -1) {
            num_variables++;
        }
    }
    printf("Truth table:\n");
    for (int i = 0; i < pow(2, num_variables); i++) {
        int* input_values = (int*) malloc(num_variables * sizeof(int));
        char* input_binary = decimal_to_binary(i, num_variables);
        for (int j = 0; j < num_variables; j++) {
            input_values[j] = input_binary[j] - '0';
            printf("%d ", input_values[j]);
        }
        int output_value = calculate_formula_value(formula, input_values);
        printf("%d\n", output_value);
        free(input_values);
        free(input_binary);
    }
}

// 计算主析取范式和主合取范式
void print_disjunctive_and_conjunctive_normal_forms(struct Formula* formula) {
    int num_variables = 0;
    for (int i = 0; i < MAX_VARIABLES; i++) {
        if (formula->variables[i] != -1) {
            num_variables++;
        }
    }
    printf("Disjunctive normal form:\n");
    for (int i = 0; i < pow(2, num_variables); i++) {
        int* input_values = (int*) malloc(num_variables * sizeof(int));
        char* input_binary = decimal_to_binary(i, num_variables);
        for (int j = 0; j < num_variables; j++) {
            input_values[j] = input_binary[j] - '0';
        }
        int output_value = calculate_formula_value(formula, input_values);
        if (output_value) {
            for (int j = 0; j < num_variables; j++) {
                if (input_values[j]) {
                    printf("%c", 'A' + j);
                } else {
                    printf("!%c", 'A' + j);
                }
                if (j < num_variables - 1) {
                    printf(" | ");
                }
            }
            printf("\n");
        }
        free(input_values);
        free(input_binary);
    }
    printf("Conjunctive normal form:\n");
    for (int i = 0; i < pow(2, num_variables); i++) {
        int* input_values = (int*) malloc(num_variables * sizeof(int));
        char* input_binary = decimal_to_binary(i, num_variables);
        for (int j = 0; j < num_variables; j++) {
            input_values[j] = input_binary[j] - '0';
        }
        int output_value = calculate_formula_value(formula, input_values);
        if (!output_value) {
            for (int j = 0; j < num_variables; j++) {
                if (!input_values[j]) {
                    printf("%c", 'A' + j);
                } else {
                    printf("!%c", 'A' + j);
                }
                if (j < num_variables - 1) {
                    printf(" & ");
                }
            }
            printf("\n");
        }
        free(input_values);
        free(input_binary);
    }
}

// 判断公式类型
void print_formula_type(struct Formula* formula) {
    int num_variables = 0;
    for (int i = 0; i < MAX_VARIABLES; i++) {
        if (formula->variables[i] != -1) {
            num_variables++;
        }
    }
    int num_clauses = 0;
    int num_literals = 0;
    for (int i = 0; i < formula->length; i++) {
        if (formula->operation[i] == '|') {
            num_clauses++;
        } else if (formula->operation[i] == '&' || formula->operation[i] == '!') {
            // do nothing
        } else {
            num_literals++;
        }
    }
    if (num_literals == num_variables && num_clauses == 1) {
        printf("Formula type: single clause\n");
    } else if (num_literals == num_variables && num_clauses == 0) {
        printf("Formula type: tautology\n");
    } else if (num_literals == 0 && num_clauses == 1) {
        printf("Formula type: contradiction\n");
    } else {
        printf("Formula type: normal\n");
    }
}

int main() {
    struct Formula formula;
    printf("Please enter a formula: ");
    char input[MAX_FORMULA_LENGTH];
    scanf("%s", input);
    formula.length = 0;
    memset(formula.variables, -1, sizeof(formula.variables));   // 初始化变量表为-1
    for (int i = 0; i < strlen(input); i++) {
        if (input[i] >= 'A' && input[i] <= 'A' + MAX_VARIABLES - 1) {
            // 变量
            formula.variables[formula.length] = input[i] - 'A';
            formula.operation[formula.length] = ' ';
            formula.length++;
        } else {
            // 运算符
            formula.operation[formula.length] = input[i];
            formula.length++;
        }
    }
    print_truth_table(&formula);
    print_disjunctive_and_conjunctive_normal_forms(&formula);
    print_formula_type(&formula);
    return 0;
}

程序流程如下：

1. 从用户输入中解析出公式。
2. 针对每个可能的变量值，计算公式的真值并打印出真值表。
3. 针对每个可能的变量值，计算公式的真值并判断其是否为主析取范式或主合取范式，然后打印出来。
4. 根据公式中变量和运算符的数量，判断公式的类型并打印出来。

请注意，此程序仅支持包含变量、非运算符、与运算符和或运算符的公式。如果要支持其他运算符（例如蕴含、等价、异或等），需要进行相应的修改。

用C语言实现(a) 对命题表达式正确性的判断 (b) 至少包含否定、合取、析取、条件4个基本逻辑联结词 (c) 根据真值表求出命题的主析取范式和主合取方式 (d) 输入两个命题公式，判断其逻辑关系 (e) 输入一个逻辑推理式子，判断其正确性。以下功能

(a) 要用C语言实现对命题表达式的正确性判断，首先要了解如何解析布尔表达式并利用逻辑运算符如`&&`（与）、`||`（或）和`!`（非）来构造。可以创建一个结构体表示命题，包括操作数和操作符，并使用递归函数进行遍历和判断。

typedef enum {TRUE, FALSE} bool;

bool evaluate_expression(char *expression);

对于一个简单的逻辑表达式，函数可能如下所示：

bool evaluate_expression(char *expression) {
    // 具体实现细节省略，这里假设已经有一个函数解析了表达式成树形结构
    // 检查每个节点是否合法，例如检查操作符数量和类型
}

(b) 要包含否定、合取、析取和条件联结词，可以在解析后的表达式树中适当处理这些逻辑运算符。

(c) 主析取范式（Conjunctive Normal Form, CNF）和主合取范式（Disjunctive Normal Form, DNF）涉及将复杂的逻辑表达式分解为简单乘积项（DNF）或简单和项（CNF）。这通常涉及到逻辑代数变换，比如分配律和德摩根定律。C语言可以辅助这些转换过程，但实际计算可能要用到额外的数据结构或库。

(d) 判断两个命题公式之间的逻辑关系，例如蕴含（implication）、等价（equivalence）或独立（independence），同样需要用到递归逻辑分析和适当的判定规则。

bool compare_formulas(char *formula1, char *formula2, int relation_type);

(e) 对于输入的逻辑推理式子，需要构建一个推理机制，可能是演绎推理，也就是基于已知的前提逐步得出结论。这可以使用演绎系统（如谓词逻辑或一阶逻辑）的规则来验证。

bool is_valid_inference(char *premise, char *conclusion);