设长度为M的有限长序列。以N(N>M)为周期进行周期延拓，得到周期序列。分别根据序列傅里叶变换的定义、周期序列傅里叶级数的定义，分析序列傅里叶变换和周期序列傅里叶级数之间的关系，并说明随着N的变化，周期序列傅里叶级数将如何变化。用MATLAB绘制幅度频谱图来进行分析。

离散傅立叶变换(DFT)，对于长度为 \( M \) 的有限长序列，通过将其视为周期序列，周期长度 \( N (N > M) \) 是通过零填充实现的。这样做的目的是为了利用快速傅里叶变换（FFT）算法来高效计算。

**序列傅里叶变换与周期序列傅里叶级数的关系**[^1]:
- **序列傅里叶变换**：这是对原序列本身的线性变换，它给出的是每个频率分量的幅度和相位信息，适用于非周期信号。
- **周期序列傅里叶级数**：当序列被视为周期信号时，它分解成一系列谐波，每个谐波对应一个特定的频率。这个级数描述了各频率分量的相对强度，但不是直接的幅度。

**随着\( N \)的变化**:
- 当\( N \)增大时，周期序列的采样点增多，能够更精确地近似非周期信号的特性，傅立叶级数的项会增加，细节更加丰富。
- 如果\( N \)是序列本身长度的倍数，那么级数只包含完整的频率成分，不包括"混叠"效应（即高于原始信号最高频率的频率分量）。
- 如果\( N \)不是序列长度的倍数，会有部分频率重复，这时会产生混叠现象，需要额外处理。

**MATLAB示例**:

% 假设有一个长度为M的序列x
M = 8;
x = rand(M, 1);

% 对于不同周期长度N的DFT
Fs = 10; % Sampling frequency
N_values = [2*M, 3*M]; % 选择不同的周期长度
for i = 1:length(N_values)
    N = N_values(i);
    X = fft(x, N); % DFT
    freqs = (0:N-1)*Fs/N; % Frequency vector
    
    % 绘制幅度频谱图
    plot(freqs, abs(X), 'LineWidth', 2);
    title(sprintf('Periodicity: N=%d', N));
    xlabel('Frequency (Hz)');
    ylabel('Magnitude');
    grid on;
end

这将展示不同周期长度下DFT的结果，可以看到随着\( N \)的增大，频谱的分辨率提高，但可能会有混叠现象。