奇函数、偶函数积分的性质

假设 $f(x)$ 是一个奇函数，则有以下性质：

1. $\int_{-a}^0 f(x)dx = -\int_0^a f(x)dx$，即在对称轴左侧的积分值等于对称轴右侧积分值的相反数。

2. 如果被积函数 $f(x)$ 的定义域关于原点对称，则该函数是奇函数。

3. 如果被积函数 $f(x)$ 是连续的奇函数，则其积分区间 $[-a,a]$ 上的积分为零，即 $\int_{-a}^a f(x)dx=0$。

相对应地，假设 $g(x)$ 是一个偶函数，则有以下性质：

1. $\int_{-a}^a g(x)dx = 2\int_0^a g(x)dx$，即在对称轴左侧的积分值等于对称轴右侧积分值的相反数，且对称轴两侧的积分值相等。

2. 如果被积函数 $g(x)$ 的定义域关于原点对称，则该函数是偶函数。

3. 如果被积函数 $g(x)$ 是连续的偶函数，则其积分区间 $[-a,a]$ 上的积分可以通过积分区间 $[0,a]$ 上的积分的两倍得到，即 $\int_{-a}^a g(x)dx=2\int_0^a g(x)dx$。

这些性质可以用于简化对奇偶函数的积分计算。例如，如果一个被积函数是奇函数，则可以只计算其在积分区间 $[0,a]$ 上的积分值，然后将其乘以 $2$，再乘以 $-1$，即可得到在积分区间 $[-a,0]$ 上的积分值。同样的，如果一个被积函数是偶函数，则可以只计算其在积分区间 $[0,a]$ 上的积分值，然后将其乘以 $2$，即可得到在积分区间 $[-a,a]$ 上的积分值。

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python3有多少内置奇函数

Python3 中有很多内置函数，但是没有叫做“奇函数”的内置函数。你可能想问的是“内置函数”的数量。Python3.9.7 中有68个内置函数，其中包括一些常用的函数，例如 `print()`、`len()`、`type()`、`range()` 等。你可以使用 `dir(__builtins__)` 命令列出所有的内置函数。

delta函数性质缩放性质

Delta函数的性质之一是缩放性质。缩放性质是指当自变量中的常数倍数改变时，delta函数的取值也相应地进行了对应的变化。

具体来说，设a是非零常数，x为自变量，则缩放性质可以描述为：

当a > 0时，delta(ax) = |a| * delta(x)

当a < 0时，delta(ax) = -|a| * delta(x)

也就是说，通过乘以常数a来缩放自变量，delta函数的取值也需要乘以相应的常数。

这可以理解为，由于delta函数的本质是一个狄拉克脉冲，它在原点处纵坐标无穷大，面积为1，而在其他点处纵坐标为0。所以当自变量进行缩放时，相当于同时改变了delta函数的函数值和宽度。

例如，如果我们将自变量x缩放为原来的2倍，即ax，在非零点上的函数值变为原来的2倍，面积也减小了原来的一半，所以delta(ax)的函数值需要乘以2。

需要注意的是，当a = 0时，delta函数的缩放性质不再成立，因为此时delta(0) = ∞，无法进行乘法运算。

总而言之，delta函数的缩放性质是指，在自变量中乘以常数a的情况下，delta函数的函数值也相应地乘以常数|a|。这一性质在很多物理和数学问题中起到了重要的作用，为我们进行方便的计算和分析提供了便利。