416. 分割等和子集为什么dp[target] == target

分割等和子集问题是一道经典的动态规划问题，其状态转移方程为：

dp[i] = dp[i] or dp[i - num]

其中，dp[i]表示能否凑出和为i的子集，num表示当前遍历到的数字。

当dp[target] == target时，表示能够凑出和为target的子集，因此整个数组被分成了两个相等的子集。这是因为当数组中所有元素的和为偶数时，才有可能分成两个相等的子集，而此时凑出的子集和为sum/2。因此，如果dp[target]等于sum/2，则说明能够凑出两个相等的子集，否则就无法分成两个相等的子集。

相关问题

数组的部分和:给定一个整数数组 arr和目标和target，编写递归函数找出数组中是否存在一个子集，其元素之和等于target。 ·示例:输入:arr=[1,2,3,7], target=6输出:子集[1,2,3] （用c语言）

在C语言中，我们可以使用动态规划的思想解决这个问题，即“子集和”问题。这里有一个经典的递归解决方案，通常会使用布尔数组`dp`来记录每个元素是否出现在当前子集中。以下是对应的C代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool hasSubsetSum(int arr[], int n, int target) {
    if (target == 0)
        return true; // 空集的和就是0

    if (n == 0 || target < 0)
        return false; // 没有元素或者目标小于0，则不可能找到和为目标的子集

    bool dp[n + 1]; // 初始化dp数组
    dp[0] = true;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] <= target) {
            dp[i] |= dp[i - 1] | dp[i - arr[i - 1]]; // 如果选arr[i-1]
        }
    }

    return dp[n];
}

// 测试代码
int main() {
    int arr[] = {1, 2, 3, 7};
    int target = 6;
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    if (hasSubsetSum(arr, n, target))
        printf("存在子集 %d", target);
    else
        printf("不存在子集 %d", target);

    return 0;
}

vdef swap(a, b): sum_a, sum_b = sum(a), sum(b) target = (sum_a + sum_b) // 2 dp = [[False] * (target + 1) for _ in range(len(a) + 1)] dp[0][0] = True for i in range(1, len(a) + 1): for j in range(target + 1): if j >= a[i - 1]: dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - a[i - 1]] else: dp[i][j] = dp[i - 1][j] for j in range(target, -1, -1): if dp[-1][j]: return sum_a - 2 * j 该段代码具体运用了什么算法思想，请具体说明

这段代码运用了动态规划算法思想来解决问题。

首先，将 a 和 b 两个数组的元素和分别计算出来，并求出它们的和的一半作为目标值 target。

然后，创建一个二维的布尔型数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个元素中是否存在一个子集的元素和为 j。

接下来，对 dp 数组进行初始化。首先，当 j = 0 时，dp[0][0] = True，表示前 0 个元素的子集中存在元素和为 0 的子集。然后，对于 i > 0 且 j > 0 的情况，如果 j >= a[i - 1]，则 dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - a[i - 1]]，表示可以选择不将 a[i - 1] 加入子集中，或者将 a[i - 1] 加入子集中。如果 j < a[i - 1]，则 dp[i][j] = dp[i - 1][j]，表示不能将 a[i - 1] 加入子集中。

最后，从 target 开始向前遍历 dp[-1] 数组，如果 dp[-1][j] 为 True，则说明存在一个前 len(a) 个元素的子集，使得它们的和为 j。此时，返回 sum_a - 2 * j，即 a 和 b 两个数组的元素和之差的绝对值。

因此，这段代码具体运用了 0-1 背包问题的动态规划算法思想。