已知某因果稳定系统的差分方程 y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1) 求激励x(n)=10*ε(n)的稳态输出响应y(n)

根据差分方程可得：

y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1)

将激励x(n)=10*ε(n)代入，则有：

y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=40*ε(n)+30*ε(n-1)

为了求解稳态输出响应y(n)，我们需要先求解该系统的传递函数。对差分方程进行z变换，可得：

Y(z)-0.75z^-1*Y(z)+0.125z^-2*Y(z) = 4X(z)+3z^-1*X(z)

将X(z)替换为10*ε(z)，可得：

Y(z)-0.75z^-1*Y(z)+0.125z^-2*Y(z) = 40ε(z)+30z^-1*ε(z)

进一步整理可得：

Y(z) = (40+30z^-1)/(1-0.75z^-1+0.125z^-2) * ε(z)

将传递函数表示成极点-零点形式，可得：

Y(z) = (40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(z)

该系统的极点为z=0.5和z=0.25，均在单位圆内，因此该系统是稳定的。

根据稳态输出响应的定义，我们可以将输入信号看作是一个随机序列，求解其稳态均值和方差。由于输入信号是符合标准正态分布的随机序列，因此其均值为0，方差为1。

根据传递函数可以得到稳态输出响应的均值和方差：

E(y(n)) = E((40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(n)) = 0

Var(y(n)) = Var((40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(n)) = 4900

因此，稳态输出响应y(n)的均值为0，方差为4900，即：

y(n) ~ N(0, 4900)

其中，N(0, 4900)表示均值为0，方差为4900的正态分布。