试构造一个离散型随机变量 X，使得 E(X)=E(X3)=0,E(X2)=E(X4)=1.

我们可以构造如下的随机变量 X：

- 当随机变量 U 服从均匀分布 U(-1, 1) 时，取 X = 0；
- 当随机变量 U 服从均匀分布 U(1, 3) 时，取 X = 1；
- 当随机变量 U 服从均匀分布 U(-3, -1) 时，取 X = -1。

容易验证，这个随机变量 X 的期望、期望的三次方、二次方和四次方分别为：

- E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + (-1) * P(X=-1) = 0；
- E(X^3) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + (-1) * P(X=-1) = 0；
- E(X^2) = 0^2 * P(X=0) + 1^2 * P(X=1) + (-1)^2 * P(X=-1) = 1；
- E(X^4) = 0^4 * P(X=0) + 1^4 * P(X=1) + (-1)^4 * P(X=-1) = 1。

因此，这个随机变量 X 满足所要求的条件。

相关问题

试构造一个离散型随机变量 X，使得 E(X)=E(X^3)=0,E(X^2)=E(X^4)=1.

我们可以构造如下的离散型随机变量 X：

- X 取值为 1 或 -1，概率分别为 1/2。
- 根据 X 的取值，定义 Y = X^2，取值为 1 或 0，概率分别为 1/2。

此时，我们有：

- E(X) = 1/2 * 1 + 1/2 * (-1) = 0，符合要求。
- E(X^3) = 1/2 * 1 + 1/2 * (-1) = 0，符合要求。
- E(X^2) = 1/2 * 1 + 1/2 * 1 = 1，符合要求。
- E(X^4) = 1/2 * 1 + 1/2 * 1 = 1，符合要求。

因此，这个随机变量 X 就满足条件。

已知X和Y是离散随机变量，证明E［X］=∑yE［X|Y=y］P｛Y=y｝

根据全期望公式，可以得出：

E[X] = E[E[X|Y]]

由于X和Y是离散随机变量，因此可以将上式中的条件期望展开为：

E[X] = ∑y E[X|Y=y] P{Y=y}

也就是说，期望值E[X]等于在所有Y的取值下，X在给定Y的条件下的期望值的加权平均，权重为Y的概率分布P{Y=y}。因此，该式得证。