matlab实现三次埃尔米特插值

三次埃尔米特插值是一种常用的插值方法，可以通过给定的数据点来构造一个三次函数，并在这些数据点上进行插值。以下是 MATLAB 中实现三次埃尔米特插值的方法：

假设有 n 个数据点 $(x_i, y_i)$, i=1,2,...,n

首先，计算每个数据点的一阶导数 $y_i'$，可以使用如下代码：

% 给定的数据点
x = [1 2 3 4 5];
y = [1 4 2 5 3];

% 计算一阶导数
n = length(x);
dy = zeros(1,n);
dy(1) = (y(2)-y(1))/(x(2)-x(1));
dy(n) = (y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1));
for i=2:n-1
    dy(i) = (y(i+1)-y(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));
end

然后，构造每个数据点的三次函数：

% 计算每个数据点的三次函数
syms t;
n = length(x);
h = zeros(1,n-1);
for i=1:n-1
    h(i) = x(i+1)-x(i);
end

% 构造三次函数
f = cell(1,n-1);
for i=1:n-1
    f{i} = (1+2*(t-x(i))/h(i))*((t-x(i+1))/h(i))^2*y(i) + ...
           (1+2*(x(i+1)-t)/h(i))*((t-x(i))/h(i))^2*y(i+1) + ...
           (t-x(i))*((t-x(i+1))/h(i))^2*dy(i) + ...
           (t-x(i+1))*((t-x(i))/h(i))^2*dy(i+1);
end

最后，将所有三次函数相加，得到插值函数：

% 将所有三次函数相加得到插值函数
syms t;
n = length(x);
f_interp = 0;
for i=1:n-1
    f_interp = f_interp + f{i};
end

这样，我们就得到了三次埃尔米特插值的插值函数 $f_{\rm interp}$。可以通过调用 f_interp(t) 来获得插值点 t 的函数值。