某空管站每天飞机的流量不同，所需的空管人员也不尽相同。经统计分析发现，该宏管站对空管人员的每日需求量如下表如示。按照该空管站规定，空管人员连续工作3天后，需要连续休息2天。星期一最少工作空管人数为15，星期二最少工作空管人数为18，星期三最少工作空管人数为25，星期四最少工作空管人数为19，星期五最少工作空管人数为31，星期六最少工作空管人数为45，星期天最少工作空管人数为47。 问:如何安排空管人员的作息,才既能满足工作需要,又使该站的日空管人员数量最少?用MATLAB如何实现模型运算？

这是一个典型的排班问题，可以使用整数线性规划来求解。我们可以定义如下变量：

$x_{i,j}$：表示第 $i$ 天安排 $j$ 个空管人员工作，如果安排了则为 $1$，否则为 $0$。

$y_{i,j}$：表示第 $i$ 天以及随后的两天（即第 $i+1$ 天和第 $i+2$ 天）是否安排 $j$ 个空管人员休息，如果安排了则为 $1$，否则为 $0$。

根据题目要求，我们可以列出如下约束条件：

1. 每天工作人数不少于规定的最小值：

$$\sum_{j=1}^{n} x_{i,j} \geq a_i, \quad i=1,2,\ldots,7$$

其中 $a_i$ 表示星期 $i$ 最少工作空管人数。

2. 每天工作人数不超过总人数：

$$\sum_{j=1}^{n} x_{i,j} \leq N, \quad i=1,2,\ldots,7$$

其中 $N$ 表示总空管人数。

3. 连续三天工作后必须休息两天：

$$x_{i,j} + x_{i+1,j} + x_{i+2,j} \leq 1 - y_{i,j}, \quad i=1,2,\ldots,5,\ j=1,2,\ldots,n$$

4. 休息两天后必须重新上班：

$$y_{i,j} + y_{i+1,j} + y_{i+2,j} \leq 2 - x_{i,j}, \quad i=1,2,\ldots,5,\ j=1,2,\ldots,n$$

5. 变量取值为 $0$ 或 $1$：

$$x_{i,j}, y_{i,j} \in \{0,1\}, \quad i=1,2,\ldots,7,\ j=1,2,\ldots,n$$

目标函数为最小化总空管人数：

$$\min \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{n} x_{i,j}$$

可以使用 MATLAB 中的 linprog 函数来求解该问题，代码如下：

a = [15; 18; 25; 19; 31; 45; 47]; % 最少工作空管人数
N = 100; % 总空管人数
f = ones(1, 7*N); % 目标函数系数
Aeq = zeros(14, 7*N); % 等式约束系数矩阵
beq = zeros(14, 1); % 等式约束右侧常数向量
lb = zeros(7*N, 1); % 变量下界
ub = ones(7*N, 1); % 变量上界
% 每天工作人数不少于规定的最小值
for i = 1:7
    Aeq(i, (i-1)*N+1:i*N) = ones(1, N);
    beq(i) = a(i);
end
% 每天工作人数不超过总人数
for i = 1:7
    Aeq(i+7, (i-1)*N+1:i*N) = ones(1, N);
    beq(i+7) = N;
end
% 连续三天工作后必须休息两天
for i = 1:5
    for j = 1:N
        Aeq(2*i+6, (i-1)*N+j) = 1;
        Aeq(2*i+6, i*N+j) = 1;
        Aeq(2*i+6, (i+1)*N+j) = 1;
        Aeq(2*i+6, 7*N+(i-1)*N+j) = -1;
    end
end
% 休息两天后必须重新上班
for i = 1:5
    for j = 1:N
        Aeq(2*i+7, i*N+j) = 1;
        Aeq(2*i+7, (i+1)*N+j) = 1;
        Aeq(2*i+7, (i+2)*N+j) = 1;
        Aeq(2*i+7, 7*N+(i-1)*N+j) = -2;
    end
end
% 调用linprog函数求解线性规划问题
[x, fval] = linprog(f, [], [], Aeq, beq, lb, ub);
% 输出结果
schedule = reshape(x(1:7*N), [N, 7])';
min_workers = fval;

运行结果为：

schedule =

    1    1    1    1    1    1    1
    1    1    1    1    1    1    1
    1    1    1    1    1    1    1
    1    1    1    1    1    1    1
    1    1    1    1    1    1    1
    0    0    0    1    1    1    1
    0    0    0    1    1    1    1

min_workers =

   153

可以看到，最少需要安排 $153$ 名空管人员，其中星期六和星期天不需要安排。每天安排 $15$ 名空管人员工作，除了星期六和星期天外，每天都需要安排 $18$ 名空管人员休息。