matlab 代码 用高斯消元法、Jacobi迭代、G-S迭代及SOR迭代编程求解二维问题求解域上的Laplace方程的混合问题

以下是一个简单的 MATLAB 代码，用高斯消元法、Jacobi迭代、G-S迭代及SOR迭代求解二维问题求解域上的Laplace方程的混合问题。

% 二维Laplace方程的混合问题求解
% 使用高斯消元法、Jacobi迭代、G-S迭代及SOR迭代

% 设置参数
N = 20; % 离散化步长
tol = 1e-6; % 迭代精度
omega = 1.2; % SOR松弛因子
maxiter = 1000; % 最大迭代次数

% 设置边界条件
u(1:N+1,1) = 0;
u(1:N+1,N+1) = 1;
u(1,1:N+1) = 0;
u(N+1,1:N+1) = 0;

% 初始化
u_new = u;
u_old = u;

% 解Laplace方程
for iter = 1:maxiter
    % Jacobi迭代
    for i = 2:N
        for j = 2:N
            u_new(i,j) = (u_old(i-1,j) + u_old(i+1,j) + u_old(i,j-1) + u_old(i,j+1))/4;
        end
    end
    err = max(max(abs(u_new - u_old)));
    u_old = u_new;
    if err < tol
        fprintf('Jacobi迭代收敛，迭代次数：%d\n', iter);
        break;
    end
end

% 初始化
u_new = u;
u_old = u;

% 解Laplace方程
for iter = 1:maxiter
    % G-S迭代
    for i = 2:N
        for j = 2:N
            u_new(i,j) = (u_new(i-1,j) + u_old(i+1,j) + u_new(i,j-1) + u_old(i,j+1))/4;
        end
    end
    err = max(max(abs(u_new - u_old)));
    u_old = u_new;
    if err < tol
        fprintf('G-S迭代收敛，迭代次数：%d\n', iter);
        break;
    end
end

% 初始化
u_new = u;
u_old = u;

% 解Laplace方程
for iter = 1:maxiter
    % SOR迭代
    for i = 2:N
        for j = 2:N
            u_new(i,j) = (1-omega)*u_old(i,j) + omega*(u_new(i-1,j) + u_old(i+1,j) + u_new(i,j-1) + u_old(i,j+1))/4;
        end
    end
    err = max(max(abs(u_new - u_old)));
    u_old = u_new;
    if err < tol
        fprintf('SOR迭代收敛，迭代次数：%d\n', iter);
        break;
    end
end

% 初始化
A = zeros((N-1)^2);
b = zeros((N-1)^2,1);

% 构造系数矩阵和右端向量
for i = 1:(N-1)^2
    row = mod(i-1,N-1) + 1;
    col = floor((i-1)/(N-1)) + 1;
    b(i) = -h^2*f(row,col);
    A(i,i) = 4;
    if row > 1
        A(i,i-1) = -1;
    end
    if row < N-1
        A(i,i+1) = -1;
    end
    if col > 1
        A(i,i-(N-1)) = -1;
    else
        b(i) = b(i) - u(row,1);
    end
    if col < N-1
        A(i,i+(N-1)) = -1;
    else
        b(i) = b(i) - u(row,N+1);
    end
end

% 解线性方程组
x = A\b;
u_new(2:N,2:N) = reshape(x,N-1,N-1);

% 输出结果
surf(u_new);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('u');
title('二维Laplace方程的混合问题求解结果');

需要注意的是，在这个代码中，我们使用了一个名为f(row,col)的函数来计算右端向量b中的值。这个函数可以根据所求问题的具体形式进行修改。