focall1 eiou 损失函数公式推导

Focal Loss是一种用于解决类别不平衡问题的损失函数，它通过降低易分类样本的权重，使得难分类样本的权重得到加强，从而提高模型对于难分类样本的分类能力。

假设我们有一个二分类问题，对于第$i$个样本，其真实标签为$y_i$，模型的预测结果为$p_i$，则其二分类交叉熵损失为：

$$
loss_i = -y_i\log(p_i)-(1-y_i)\log(1-p_i)
$$

其中$y_i=1$时表示正样本，$y_i=0$时表示负样本。当我们的数据集中正负样本比例失衡时，模型可能会更加倾向于预测为占比较大的负样本，而忽略掉占比较小但是同样重要的正样本。为了解决这个问题，我们可以引入Focal Loss。

Focal Loss的公式为：

$$
FL(p_t) = -\alpha_t(1-p_t)^\gamma\log(p_t)
$$

其中$p_t$表示模型对于当前样本的预测概率，$\alpha_t$表示样本的权重，$\gamma$是一个可调参数，用于调整难易样本的权重。$\alpha_t$和$(1-\alpha_t)$的取值可以根据样本类别的分布情况来确定，一般情况下，$\alpha_t$可以设置为正类样本的比例。

对于二分类问题，我们可以令$t=1-y_i$，$p_t=1-p_i$，则有：

$$
FL(p_i) = -\alpha_t(1-p_t)^\gamma\log(p_t)\\
= -\alpha_{1-y_i}(1-p_i)^\gamma\log(p_i)
$$

对于正样本($y_i=1$)，有$\alpha_0=1-\alpha_1$，则有：

$$
FL(p_i) = -\alpha_1(1-p_i)^\gamma\log(p_i)
$$

对于负样本($y_i=0$)，有$\alpha_1=1-\alpha_0$，则有：

$$
FL(p_i) = -\alpha_0p_i^\gamma\log(1-p_i)
$$

综上，Focal Loss的公式推导如上所述。