岭回归最小化损失函数公式

岭回归是一种用于线性回归的正则化方法，它通过添加一个正则化项来最小化损失函数。岭回归的损失函数公式如下：


其中，J(θ)是损失函数，m是样本数量，yi是第i个样本的实际值，xi是第i个样本的特征向量，θ是模型的参数向量，n是特征数量，λ是正则化参数。

岭回归的目标是找到使损失函数最小化的参数θ。通过添加正则化项，岭回归可以减小模型的复杂度，防止过拟合。正则化参数λ控制了正则化项的权重，较大的λ会使模型更加趋向于简单的解。

岭回归可以使用梯度下降等优化算法来最小化损失函数，寻找最优的参数θ。

相关问题

岭回归梯度下降法的迭代公式推导

岭回归是一种用于处理多重共线性数据的线性回归方法。它通过在损失函数中添加一个正则化项来解决过拟合问题。岭回归的梯度下降法迭代公式推导如下：

假设我们的训练集包含m个样本，每个样本有n个特征。我们的目标是最小化岭回归的损失函数：

J(w) = (1/2m) * [sum(yi - w*xi)^2 + λ * sum(wi^2)]

其中，yi是第i个样本的真实值，xi是第i个样本的特征向量，wi是第i个特征的权重，λ是正则化参数。

我们使用梯度下降法来最小化损失函数。梯度下降法的迭代公式为：

wi = wi - α * (∂J(w)/∂wi)

其中，α是学习率，控制每次迭代的步长。

对于岭回归，我们需要求解的是：

∂J(w)/∂wi = (1/m) * [sum((yi - w*xi)*xi) + 2λ*wi]

将其代入梯度下降法的迭代公式中，得到：

wi = wi - α * [(1/m) * sum((yi - w*xi)*xi) + 2λ*wi]

这就是岭回归梯度下降法的迭代公式。

最小二乘多项式拟合的损失函数与最优化方法

### 最小二乘多项式拟合中的损失函数

在最小二乘多项式拟合中，损失函数通常采用均方误差（Mean Squared Error, MSE），该损失函数旨在最小化观测值与模型预测值之间的差异。具体来说，对于给定的数据集 \((x_i, y_i)\)，其中 \(i=1,\ldots,n\) 表示第 i 个数据点，假设多项式的阶数为 m，则可以构建如下形式的多项式：

\[ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_m x^m \]

为了找到最佳参数向量 \(\mathbf{a}=[a_0,a_1,...,a_m]^T\) ，使得上述多项式能够尽可能好地描述实际数据分布，引入了基于残差平方和 (RSS) 的损失函数:

\[ L(a)=\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i))^2=\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-\sum_{j=0}^{m}a_jx_i^j\right)^2 \][^1]

此表达式即为目标函数，在训练过程中需对其进行极小化处理。

### 多项式拟合中最优解的计算方式

针对未加入正则化的标准最小二乘问题，可以通过解析解的方式获得最优系数矩阵 A 。设 X 是由输入特征构成的设计矩阵，Y 则是由响应变量组成的列向量，则有：

\[ \hat{\mathbf{A}}=(X^TX)^{-1}X^TY \]

这里需要注意的是当设计矩阵接近奇异时可能会遇到数值稳定性方面的问题；另外如果存在多重共线性现象也会导致估计不稳定。因此实践中往往会对原始公式做一些改进措施比如岭回归(Ridge Regression)[^3]。

### 正规方程 vs 迭代算法

除了直接求逆得到闭型解之外，还可以借助迭代优化手段逐步逼近全局最低点。常见的几种方法包括但不限于梯度下降法、牛顿法及其变种等。这些技术特别适用于高维空间下的大规模数据集场景下，因为此时显式构造并存储整个 Hessian 矩阵变得不切实际。而像随机梯度下降(SGD)这样的增量更新策略允许我们仅依赖于单一样本或一小批样本来调整权重从而节省内存消耗的同时加快收敛速度。

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

def poly_fit(X, Y, degree):
    # 创建多项式特征
    X_poly = np.vander(X, N=degree+1)

    model = LinearRegression(fit_intercept=False).fit(X_poly,Y)
    
    return model.coef_

# 示例用法
if __name__ == "__main__":
    X = np.array([0., 1., 2., 3.])
    Y = np.array([-1., 0.8, 0.9, 2.1])

    coef = poly_fit(X, Y, 2)
    print(coef)