一维常系数扩散方程向后欧拉格式步长比为10在t=0.5时matlab求解数值解
时间: 2024-02-17 11:01:12 浏览: 30
同样是一维常系数扩散方程,只需要在上一个问题的基础上修改相应的代码就可以了。假设步长比为10,求解到 $t=0.5$ 的数值解,代码如下:
```matlab
% 设置模拟参数
D = 1; % 扩散系数
L = 1; % 区域长度
T = 0.5; % 模拟时间
dx = 0.1; % 空间步长
dt = 10*dx*dx; % 时间步长
x = 0:dx:L; % 空间网格
t = 0:dt:T; % 时间网格
N = length(x); % 空间网格数
M = length(t); % 时间网格数
% 初始化
u = zeros(N,M); % 数值解矩阵
u(:,1) = sin(pi*x); % 初始条件
% 进行数值计算
for n=1:M-1
for i=2:N-1
u(i,n+1) = u(i,n) + D*dt/(dx^2)*(u(i-1,n+1)-2*u(i,n+1)+u(i+1,n+1));
end
end
% 绘制数值解图像
surf(x,t,u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u')
```
在这里,我们将时间步长设为空间步长的平方乘以 10,以保证数值解的稳定性。运行上述代码,即可得到求解到 $t=0.5$ 时的数值解图像。
相关问题
一维常系数扩散方程向后欧拉格式步长比为10matlab求解数值解
假设一维常系数扩散方程为:
$$\frac{\partial u}{\partial t} = D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
其中 $D$ 为常数,向后欧拉格式为:
$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} = D\frac{u_{i-1}^{n+1}-2u_i^{n+1}+u_{i+1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}$$
化简得:
$$u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{D\Delta t}{(\Delta x)^2}(u_{i-1}^{n+1}-2u_i^{n+1}+u_{i+1}^{n+1})$$
用 MATLAB 编写程序求解数值解,可以采用如下方式:
```matlab
% 设置模拟参数
D = 1; % 扩散系数
L = 1; % 区域长度
T = 1; % 模拟时间
dx = 0.1; % 空间步长
dt = 10; % 时间步长
x = 0:dx:L; % 空间网格
t = 0:dt:T; % 时间网格
N = length(x); % 空间网格数
M = length(t); % 时间网格数
% 初始化
u = zeros(N,M); % 数值解矩阵
u(:,1) = sin(pi*x); % 初始条件
% 进行数值计算
for n=1:M-1
for i=2:N-1
u(i,n+1) = u(i,n) + D*dt/(dx^2)*(u(i-1,n+1)-2*u(i,n+1)+u(i+1,n+1));
end
end
% 绘制数值解图像
surf(x,t,u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u')
```
其中,`dx` 和 `dt` 分别表示空间和时间步长,可以根据题目要求调整。
一维常系数扩散方程向后欧拉格式,matlab实现解决在t=0.5时精确解与数值解的对比
好的,针对您的问题,我可以为您提供以下的matlab代码:
```matlab
% 定义扩散系数和空间步长
D = 0.1;
dx = 0.1;
% 定义时间步长和总时间
dt = 0.01;
tfinal = 0.5;
% 定义空间网格和时间网格
x = 0:dx:1;
t = 0:dt:tfinal;
% 初始化数值解和初始条件
u = zeros(length(x), length(t));
u(:,1) = sin(pi*x);
% 向后欧拉格式求解
for n = 1:length(t)-1
u(1,n+1) = u(1,n) + D*dt/dx^2*(u(2,n) - 2*u(1,n) + u(end,n));
u(2:end-1,n+1) = u(2:end-1,n) + D*dt/dx^2*(u(3:end,n) - 2*u(2:end-1,n) + u(1:end-2,n));
u(end,n+1) = u(end,n) + D*dt/dx^2*(u(1,n) - 2*u(end,n) + u(end-1,n));
end
% 计算精确解
u_exact = zeros(length(x), length(t));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(t)
u_exact(i,j) = exp(-pi^2*D*t(j))*sin(pi*x(i));
end
end
% 绘制数值解和精确解
figure;
subplot(2,1,1);
plot(x, u(:,end), 'r', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(x, u_exact(:,end), 'b--', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('u(x,0.5)');
legend('Numerical', 'Exact');
title('Comparison of Numerical and Exact Solutions at t = 0.5');
% 计算误差
error = u(:,end) - u_exact(:,end);
% 绘制误差图像
subplot(2,1,2);
plot(x, error, 'k', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('Error');
title('Error at t = 0.5');
```
这段代码实现了一维常系数扩散方程的向后欧拉格式求解,并且比较了在$t=0.5$时数值解和精确解的差异。您可以根据需要修改参数和初始条件来进行测试。
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