树状数组求逆序对 时间复杂度

树状数组求逆序对的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为数组的大小。

树状数组（也称为BIT，Binary Indexed Tree）是一种高效的数据结构，可以用来求解一些区间操作的问题。对于求逆序对的问题，我们可以利用树状数组来统计每个元素之前的比它大的元素个数。

具体实现过程如下：
1. 首先，将原始数组按照从大到小的顺序排序，并用排名表示每个元素的位置。
2. 创建一个初始值为0的树状数组，并将排名依次插入树状数组中。
3. 从右往左遍历原始数组，对于每个元素，查询树状数组中排名小于它的元素个数，并将该元素的排名插入树状数组中。
4. 统计所有查询的结果之和即为逆序对的个数。

在以上过程中，查询和插入操作都可以在O(logn)的时间复杂度内完成，因此总的时间复杂度为O(nlogn)。

相关问题

请使用树状数组求逆序对

树状数组（Fenwick tree）是一种用于高效求解数列前缀和（Prefix Sum）问题的数据结构，而求逆序对也是一种经典的问题。

假设有个长度为 n 的数组 a，我们要求其中逆序对的数量，即所有 i < j 且 a[i] > a[j] 的 (i,j) 对数。这个问题可以用归并排序的思想求解，但是这里我们介绍一种使用树状数组的解法。

思路如下：

1. 将原数组 a 复制一份并排序，得到新数组 b，将 b 中的每个元素在原数组 a 中的下标记录在数组 c 中。
2. 从右往左遍历 a，对于每个元素 a[i]，在树状数组中查询前缀和 sum(c[i]-1)，即小于 a[i] 的元素个数，将结果累加到逆序对计数器 ans 中。
3. 将 a[i] 在数组 c 中对应的位置在树状数组中更新为 1。

下面是使用 Python 实现的代码：

def lowbit(x):
    return x & -x

def update(bit, x, val):
    n = len(bit)
    while x <= n:
        bit[x] += val
        x += lowbit(x)

def query(bit, x):
    res = 0
    while x > 0:
        res += bit[x]
        x -= lowbit(x)
    return res

def count_inversions(a):
    n = len(a)
    b = sorted(a)
    c = {v: i+1 for i, v in enumerate(b)}
    bit = [0] * (n+1)
    ans = 0
    for i in range(n-1, -1, -1):
        ans += query(bit, c[a[i]]-1)
        update(bit, c[a[i]], 1)
    return ans

其中，lowbit 函数是计算 x 的最低位 1 所代表的值；update 函数是树状数组的更新操作；query 函数是树状数组的查询操作；count_inversions 函数是主函数，用于计算逆序对数量。

时间复杂度为 O(nlogn)。

树状数组求解逆序对的原理

树状数组（也称为段树或fenwick树），用于高效地处理区间查询和更新操作，对于求解逆序对问题非常有效。逆序对是指在一个序列中，如果a[i] > a[j]，则(a[i], a[j])视为一个逆序对。

在解决逆序对问题时，利用树状数组的主要原理如下：

1. **区间更新**：当我们增加一个元素的值时，实际上会改变它所在区间的逆序对数量。例如，如果我们将第i个元素增大，那么之前的i到n-1区间可能会因为这个元素的变化而增加新的逆序对。

2. **区间查询**：查询某个区间内的逆序对数量，实际上是对每个区间内部和跨越区间两端的所有元素之间逆序对的计数。树状数组可以快速地进行区间询问，通过递归计算包含每个节点的区间的逆序对贡献。

3. **线性时间复杂度**：由于树状数组支持O(log n)时间的区间更新和查询操作，所以整个算法的时间复杂度可以达到O(n log n)，其中n是序列的长度。

具体操作步骤通常是先预处理原始数组得到树状数组，然后对于每个查询，从最后一个元素开始往左维护一个累计逆序对的数量，每遇到比当前值大的元素，就增加累计值。