求矩阵的（完全）SVD分解过程

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，其完全SVD分解为：

$$ A = U\Sigma V^T$$

其中，$U$ 是 $m\times m$ 的正交矩阵，$V$ 是 $n\times n$ 的正交矩阵，$\Sigma$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，其对角线上元素为奇异值 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_p\geq0$，而其它元素均为零，$p=\min\{m,n\}$。

下面介绍完全SVD分解的具体过程：

1. 求出 $A^TA$ 的特征值与特征向量。

2. 求出奇异值 $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A^TA$ 的特征值。

3. 求出特征向量 $v_i$ 关于矩阵 $A^TA$ 的单位化向量，即 $v_i=\frac{1}{\sigma_i}Av_i$。

4. 将 $v_i$ 扩充为 $n$ 维的正交矩阵 $V$，即将 $v_i$ 补成 $n$ 行，再进行 $QR$ 分解。

5. 通过 $A=U\Sigma V^T$ 的关系求出 $U$，其中 $U$ 的第 $i$ 列为 $u_i=\frac{1}{\sigma_i}Av_i$。

6. 如果 $m>n$，则在 $\Sigma$ 的最后增加 $m-n$ 行零；如果 $m<n$，则在 $\Sigma$ 的最后增加 $n-m$ 列零。这样，我们就得到了完全SVD分解。

相关问题

matlap求矩阵svd分解

在 MATLAB 中，矩阵的 SVD 分解可以使用 `svd` 函数实现。下面是一个示例代码：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % 定义一个矩阵
[U, S, V] = svd(A); % 对矩阵 A 进行 SVD 分解

其中，`U`、`S` 和 `V` 分别是 SVD 分解后的左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。你可以通过以下方式来检查分解是否正确：

A_approx = U * S * V'; % 还原矩阵
norm(A - A_approx) % 计算还原矩阵与原矩阵的 Frobenius 范数

如果结果接近于 0，则说明还原矩阵与原矩阵非常接近，分解结果正确。

矩阵论svd分解习题

对于给定的矩阵A，我们可以使用奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）来将其分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T。

其中，U和V都是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

首先，我们需要计算A^TA，然后求解这个矩阵的特征值和特征向量。假设特征值从大到小排列为λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λn，并将对应的特征向量标准化，得到v1, v2, …, vn。

然后，通过计算Av1, Av2, …, Avn，并将结果标准化，得到u1, u2, …, un。

接下来，我们可以构建三个矩阵U、Σ和V^T。

U的列向量是u1, u2, …, un。

Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素是奇异值。其中，奇异值σi是特征值λi的平方根。

V的列向量是v1, v2, …, vn。

最后，我们可以将A表示为A = UΣV^T。

通过SVD分解，我们可以提取出矩阵A的重要特征，如奇异值的大小可以用来衡量矩阵的重要性，而对应的特征向量则表示了A在特定方向上的重要性。

SVD分解还有很多应用，例如在图像处理中，可以用于减少图像噪音、压缩图像等。

总之，SVD分解是一种重要的矩阵运算方法，可以将矩阵分解为三个部分，通过奇异值的大小和特征向量的方向来提取矩阵的重要特征。