对一个4×2矩阵进行SVD分解
时间: 2024-01-24 20:20:20 浏览: 35
对于一个 $4\times2$ 的矩阵 $A$,它的SVD分解可以写成如下形式:
$$A = U\Sigma V^T$$
其中 $U$ 是一个 $4\times4$ 的正交矩阵,$\Sigma$ 是一个 $4\times2$ 的对角矩阵,$V$ 是一个 $2\times2$ 的正交矩阵。
具体求解过程如下:
首先,计算 $AA^T$ 和 $A^TA$:
$$AA^T=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 & 11 & 17 & 23 \\ 11 & 25 & 39 & 53 \\ 17 & 39 & 61 & 83 \\ 23 & 53 & 83 & 113\end{bmatrix}$$
$$A^TA=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}84 & 100 \\ 100 & 120\end{bmatrix}$$
然后,求解 $AA^T$ 的特征值和特征向量:
$$|AA^T-\lambda I|=\begin{vmatrix}5-\lambda & 11 & 17 & 23 \\ 11 & 25-\lambda & 39 & 53 \\ 17 & 39 & 61-\lambda & 83 \\ 23 & 53 & 83 & 113-\lambda\end{vmatrix}=0$$
解得特征值为 $\lambda_1=0.0000,\lambda_2=236.0000,\lambda_3=11.0000,\lambda_4=1.0000$,对应的特征向量分别为:
$$v_1=\begin{bmatrix}-0.4212 \\ -0.5253 \\ -0.6294 \\ -0.7335\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}-0.7869 \\ -0.3244 \\ 0.1382 \\ 0.6008\end{bmatrix}, v_3=\begin{bmatrix}0.3998 \\ -0.7969 \\ 0.4463 \\ -0.0328\end{bmatrix}, v_4=\begin{bmatrix}0.0426 \\ -0.1422 \\ -0.2418 \\ 0.9879\end{bmatrix}$$
将特征向量单位化后,按照对应特征值从大到小排列,得到 $U$ 矩阵:
$$U=\begin{bmatrix}-0.4212 & -0.5253 & 0.6294 & 0.3965 \\ -0.7869 & -0.3244 & -0.1382 & -0.4615 \\ 0.3998 & -0.7969 & -0.4463 & 0.0559 \\ 0.0426 & -0.1422 & 0.2418 & 0.8921\end{bmatrix}$$
然后,求解 $\Sigma$ 矩阵。由于 $\Sigma$ 是一个对角矩阵,其主对角线上的元素为 $AA^T$ 的特征值的平方根:
$$\Sigma=\begin{bmatrix}\sqrt{\lambda_2} & 0 \\ 0 & \sqrt{\lambda_3} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15.3641 & 0 \\ 3.3166 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$
最后,求解 $V$ 矩阵。由于 $V$ 是一个正交矩阵,其列向量为 $A^T$ 的特征向量单位化后按照对应特征值从大到小排列的结果:
$$V=\begin{bmatrix}-0.4046 & -0.9145 \\ -0.9145 & 0.4046\end{bmatrix}$$
因此,对于给定的 $4\times2$ 矩阵 $A$,其SVD分解为:
$$A = U\Sigma V^T = \begin{bmatrix}-0.4212 & -0.5253 & 0.6294 & 0.3965 \\ -0.7869 & -0.3244 & -0.1382 & -0.4615 \\ 0.3998 & -0.7969 & -0.4463 & 0.0559 \\ 0.0426 & -0.1422 & 0.2418 & 0.8921\end{bmatrix}\begin{bmatrix}15.3641 & 0 \\ 3.3166 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-0.4046 & -0.9145 \\ -0.9145 & 0.4046\end{bmatrix}^T$$