c++实现追赶法解线性方程组

追赶法（也称为扫描法）是一种用于求解带有三对角矩阵的线性方程组的直接方法。三对角矩阵是一种形如下面的矩阵：

$$\begin{bmatrix} b_1 & c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_2 & b_2 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_3 & b_3 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_n & b_n \end{bmatrix}$$

其中 $a_i$，$b_i$，$c_i$ 均为实数。这种矩阵在很多物理和工程问题中都有应用，例如求解热传导方程、电路分析等。

追赶法的主要思想是将原线性方程组转化为两个带有对角矩阵的方程组，然后分别用回带法（即从后往前依次求解每个未知量）求解这两个方程组。具体来说，假设原方程组为 $Ax=b$，其中 $A$ 是一个 $n\times n$ 的三对角矩阵，$b$ 是一个 $n$ 维列向量，我们可以将 $A$ 分解为下面两个对角矩阵的乘积：

$$A=L\cdot U$$

其中 $L$ 是一个 $n\times n$ 的下三角矩阵，$U$ 是一个 $n\times n$ 的上三角矩阵，它们的对角线元素分别为：

$$l_{i,i}=1,\quad u_{i,i}=b_i$$

$$l_{i+1,i}=\frac{a_{i+1}}{u_{i,i}},\quad u_{i,i+1}=c_i$$

这样，原方程组就可以写成以下两个方程组的形式：

$$Ly=b'$$

$$Ux=y$$

其中 $y$ 和 $b'$ 分别是 $L$ 和 $b$ 的前代和后代结果，$x$ 是待求解的向量。我们可以先用前代法求解 $Ly=b'$，然后再用回带法求解 $Ux=y$，从而得到 $x$ 的值。

下面给出一个 Python 实现追赶法的例子：

import numpy as np

def tridiagonal_solver(a, b, c, d):
    """
    Solve the tridiagonal linear system Ax = d,
    where A is a tridiagonal matrix with diagonal elements b, subdiagonal
    elements a, and superdiagonal elements c.

    Parameters:
        a, b, c: numpy arrays of shape (n-1,), representing the subdiagonal,
            diagonal, and superdiagonal elements of the tridiagonal matrix.
        d: numpy array of shape (n,), representing the right-hand side.

    Returns:
        x: numpy array of shape (n,), representing the solution.
    """
    n = len(b)
    # Forward elimination
    for i in range(1, n):
        m = a[i-1] / b[i-1]
        b[i] = b[i] - m * c[i-1]
        d[i] = d[i] - m * d[i-1]
    # Back substitution
    x = np.zeros(n)
    x[n-1] = d[n-1] / b[n-1]
    for i in range(n-2, -1, -1):
        x[i] = (d[i] - c[i] * x[i+1]) / b[i]
    return x

这个函数的输入参数是 $a$、$b$、$c$ 和 $d$，分别表示三对角矩阵的下对角线、对角线、上对角线和右侧向量。输出结果是线性方程组的解 $x$。函数首先进行前代消元，然后再进行回带求解。注意，这个函数会修改输入的 $b$ 和 $d$，因此如果需要保留原始数据，需要先做一份拷贝。