用比值审敛法判别下列级数敛散性 1.Σ(n+2)/2^n 2.Σn^2/3^n 3.Σntanπ/3^n
时间: 2024-05-17 13:20:05 浏览: 32
好的,我知道了。对于这三个级数,我们可以使用比值审敛法来判断它们的敛散性。
1. 对于级数Σ(n+2)/2^n,我们计算其通项比:
lim(n→∞) [(n+3)/2^(n+1)] / [(n+2)/2^n]
= lim(n→∞) [(n+3)/(n+2)] / 2
= 1/2
由于通项比小于1,所以根据比值审敛法,该级数收敛。
2. 对于级数Σn^2/3^n,计算其通项比:
lim(n→∞) [(n+1)^2/3^(n+1)] / [n^2/3^n]
= lim(n→∞) (n+1)^2 / (3n^2)
= lim(n→∞) (1+1/n)^2 / 3
= 1/3
由于通项比小于1,所以根据比值审敛法,该级数收敛。
3. 对于级数Σntanπ/3^n,计算其通项比:
lim(n→∞) [(n+1)tan(π/3)/3^(n+1)] / [ntan(π/3)/3^n]
= lim(n→∞) (n+1)/n
= 1
由于通项比等于1,所以比值审敛法无法判断该级数的敛散性。我们需要使用其他方法来判断,例如比较审敛法或积分审敛法。
综上所述,级数Σ(n+2)/2^n和Σn^2/3^n收敛,但级数Σntanπ/3^n的敛散性无法使用比值审敛法判断。
相关问题
证明c0n+c1n+...+cnn = 2^n
我们可以使用二项式定理来证明:
根据二项式定理,我们可以将式子 (c0n + c1n + ... + cnn) 写成:
(c0n + c1n + ... + cnn) = (1 + 1)^n
展开右边的式子,我们可以得到:
(1 + 1)^n = ΣC(n,i) * 1^(n-i) * 1^i (i从0到n)
因为 1 的任意次幂都等于 1,所以上式可以简化为:
(1 + 1)^n = ΣC(n,i)
这正是式子 (c0n + c1n + ... + cnn) 的值。而根据二项式定理,(1 + 1)^n 等于 2 的 n 次方。因此:
c0n + c1n + ... + cnn = 2^n
证毕。
利用级数收敛的必要条件这一性质指出以下函数是否为发散的 1. Σ(-1)^n 2. Σ(-1/3)^n
根据级数收敛的必要条件,对于一个级数Σa_n来说,如果该级数收敛,则a_n必须趋于0。因此,我们可以利用这一性质来判断给出的这两个级数是否收敛。
1. Σ(-1)^n
此级数的通项公式为(-1)^n,显然当n为奇数时,该项为-1,当n为偶数时,该项为1。因此,该级数的部分和为:
S_n = 1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1)^n
当n为偶数时,S_n = 1,当n为奇数时,S_n = 0。因此,该级数的部分和不收敛,故该级数发散。
2. Σ(-1/3)^n
此级数的通项公式为(-1/3)^n,因此该级数的部分和为:
S_n = 1 - 1/3 + 1/9 - 1/27 + ... + (-1/3)^n
对于该级数的部分和,我们可以利用等比数列求和公式得到:
S_n = (1 - (-1/3)^{n+1})/(1+1/3) = (3/4)(1 - (-1/3)^{n+1})
当n趋向于无穷大时,(-1/3)^{n+1}趋于0,因此S_n趋于3/4。因此,该级数的部分和收敛于3/4,故该级数收敛。
综上所述,Σ(-1)^n发散,Σ(-1/3)^n收敛。