求∞Σn=0 (n+1)x^n的收敛域，并求其在收敛域中的和函数S(x)

这是一个幂级数，使用比值判别法：

lim_{n->∞} |(n+2)x^{n+1}/((n+1)x^n + x^{n+1})| = |x| lim_{n->∞} (n+2)/(n+1+1/x) = |x|

当 |x| < 1 时，幂级数绝对收敛，当 |x| > 1 时，幂级数发散，当 |x| = 1 时，需要特殊处理，可以使用根值判别法来证明其收敛性。

因此，收敛域为 -1 < x < 1。

接下来求和函数 S(x)。我们有：

S(x) = ∑_{n=0}^{∞} (n+1)x^n

对该式求一次幂级数的求和公式，得：

S(x) = x d/dx (1/(1-x))^2

S(x) = x/(1-x)^3

因此，在收敛域 -1 < x < 1 中，幂级数的和函数为 S(x) = x/(1-x)^3。