扩展卡尔曼滤波（EKF）对非线性模型的近似原理

扩展卡尔曼滤波（EKF）是卡尔曼滤波（KF）的一种扩展，用于处理非线性系统。EKF的基本思想是将非线性系统在当前状态下进行线性化，然后应用标准的卡尔曼滤波算法。

具体而言，EKF的非线性模型可以表示为：

$\hat{x}_{k|k-1}=f(\hat{x}_{k-1|k-1},u_k)+w_{k-1}$

$z_k=h(\hat{x}_{k|k-1})+v_k$

其中，$f$和$h$分别表示非线性系统的状态转移和观测模型，$u_k$表示系统的控制输入，$w_{k-1}$和$v_k$分别表示过程噪声和观测噪声。

为了能够应用卡尔曼滤波算法，需要对非线性模型进行近似线性化。一种常见的方法是通过泰勒展开将非线性函数近似为一阶线性函数。具体而言，EKF对$f$和$h$进行泰勒展开，得到如下近似模型：

$\hat{x}_{k|k-1}=f(\hat{x}_{k-1|k-1},u_k)+F_k(x_{k-1|k-1}-\hat{x}_{k-1|k-1})+w_{k-1}$

$z_k=h(\hat{x}_{k|k-1})+H_k(x_{k|k-1}-\hat{x}_{k|k-1})+v_k$

其中，$F_k$和$H_k$分别表示$f$和$h$在$\hat{x}_{k-1|k-1}$和$\hat{x}_{k|k-1}$处的雅可比矩阵。这样，非线性系统就被近似为线性系统，可以直接应用卡尔曼滤波算法进行状态估计。

需要注意的是，EKF是一种近似线性化的方法，其近似误差会随着非线性程度的增加而增加。因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的滤波算法，并对滤波器参数进行调整，以达到最佳的估计效果。