介绍标准卡尔曼滤波的原理，以及扩展卡尔曼滤波（EKF）对非线性模型的近似原理，进而导出扩展卡尔曼滤波的一系列公式。

标准卡尔曼滤波的原理：

标准卡尔曼滤波是一种线性滤波算法，用于估计一个状态变量的值。它假设系统的状态是一个高斯随机变量，且系统的状态方程和观测方程可以用线性方程表示。标准卡尔曼滤波包括两个步骤：预测和更新。

预测步骤：根据系统的状态方程和控制量，预测出下一个时刻的状态变量值。同时，预测出状态变量的协方差矩阵，描述状态变量值的不确定性。

更新步骤：根据观测方程和测量值，更新状态变量的值和协方差矩阵。更新后的状态变量值和协方差矩阵，可以用于下一个时刻的预测。

扩展卡尔曼滤波的原理：

扩展卡尔曼滤波是一种非线性滤波算法，用于估计一个状态变量的值。它假设系统的状态是一个高斯随机变量，且系统的状态方程和观测方程可以用非线性方程表示。扩展卡尔曼滤波通过泰勒级数展开，将非线性方程近似为线性方程，从而实现卡尔曼滤波的递推计算。扩展卡尔曼滤波包括两个步骤：预测和更新。

预测步骤：根据系统的状态方程和控制量，预测出下一个时刻的状态变量值。同时，预测出状态变量的协方差矩阵，描述状态变量值的不确定性。在扩展卡尔曼滤波中，状态方程是非线性的，需要进行泰勒级数展开。泰勒级数展开的一阶近似是：

$x_k = f(x_{k-1}, u_k) \approx f(\hat{x}_{k-1}, u_k) + F_{k-1} (x_{k-1} - \hat{x}_{k-1})$

其中，$x_k$ 是状态变量的值，$f$ 是非线性函数，$u_k$ 是控制量，$\hat{x}_{k-1}$ 是上一个时刻的状态变量的估计值，$F_{k-1}$ 是状态方程的雅可比矩阵。

更新步骤：根据观测方程和测量值，更新状态变量的值和协方差矩阵。在扩展卡尔曼滤波中，观测方程也是非线性的，需要进行泰勒级数展开。泰勒级数展开的一阶近似是：

$z_k = h(x_k) \approx h(\hat{x}_k) + H_k (x_k - \hat{x}_k)$

其中，$z_k$ 是测量值，$h$ 是非线性函数，$\hat{x}_k$ 是预测出的状态变量的值，$H_k$ 是观测方程的雅可比矩阵。

扩展卡尔曼滤波的一系列公式：

预测步骤：

$\hat{x}_k^- = f(\hat{x}_{k-1}, u_k)$

$P_k^- = F_{k-1} P_{k-1} F_{k-1}^T + Q_{k-1}$

其中，$\hat{x}_k^-$ 是对状态变量的预测值，$P_k^-$ 是对状态变量的协方差矩阵，$Q_{k-1}$ 是过程噪声的协方差矩阵。

更新步骤：

$K_k = P_k^- H_k^T (H_k P_k^- H_k^T + R_k)^{-1}$

$\hat{x}_k = \hat{x}_k^- + K_k (z_k - h(\hat{x}_k^-))$

$P_k = (I - K_k H_k) P_k^-$

其中，$K_k$ 是卡尔曼增益，$R_k$ 是测量噪声的协方差矩阵，$z_k$ 是测量值。