扩展卡尔曼滤波（EKF）对非线性模型的近似原理，进而导出扩展卡尔曼滤波的一系列公式

扩展卡尔曼滤波（EKF）是卡尔曼滤波（KF）的一种扩展，用于处理非线性系统。EKF的基本思想是将非线性系统在当前状态下进行线性化，然后应用标准的卡尔曼滤波算法。具体而言，EKF通过在状态转移和观测方程中使用一阶泰勒展开式，将非线性系统转化为线性系统。这里给出EKF的一些公式：

1. 状态转移方程：

$\hat{x}_{k|k-1}=f(\hat{x}_{k-1|k-1},u_k)+w_{k-1}$

$F_k=\dfrac{\partial f}{\partial x}|_{\hat{x}_{k-1|k-1},u_k}$

$P_{k|k-1}=F_kP_{k-1|k-1}F_k^T+Q_k$

2. 观测方程：

$z_k=h(\hat{x}_{k|k-1})+v_k$

$H_k=\dfrac{\partial h}{\partial x}|_{\hat{x}_{k|k-1}}$

$S_k=H_kP_{k|k-1}H_k^T+R_k$

3. 卡尔曼增益：

$K_k=P_{k|k-1}H_k^TS_k^{-1}$

4. 更新状态估计：

$\hat{x}_{k|k}=\hat{x}_{k|k-1}+K_k(z_k-h(\hat{x}_{k|k-1}))$

5. 更新误差协方差：

$P_{k|k}=(I-K_kH_k)P_{k|k-1}$

其中，$f$和$h$分别表示非线性系统的状态转移和观测模型，$u_k$表示系统的控制输入，$w_{k-1}$和$v_k$分别表示过程噪声和观测噪声，$Q_k$和$R_k$分别表示过程噪声和观测噪声的协方差矩阵，$\hat{x}_{k|k-1}$表示$k-1$时刻的状态估计值，$\hat{x}_{k|k}$表示$k$时刻的状态估计值，$P_{k|k-1}$表示$k-1$时刻的状态估计误差协方差矩阵，$P_{k|k}$表示$k$时刻的状态估计误差协方差矩阵，$F_k$和$H_k$分别表示状态转移和观测方程在$\hat{x}_{k-1|k-1}$和$\hat{x}_{k|k-1}$处的雅可比矩阵，$S_k$表示观测噪声的协方差矩阵，$K_k$表示卡尔曼增益。