prim和kruskal算法时间复杂度

Prim和Kruskal算法都是用于求解最小生成树的常用算法，在图论中具有重要作用。它们的时间复杂度如下：

1. Prim算法（Prim's algorithm）：
- **最坏情况**：Prim通常从任意一个顶点开始，每次选择当前未加入生成树中边权最小的边，直到所有顶点都被包含。在稠密图（边的数量接近于顶点数量的平方）中，Prim算法的复杂度是**O((V+E)logV)**。这是因为每次添加一个新顶点时，可能需要查找所有边（E）中的最小值，并使用优先队列（如二叉堆）来维持操作效率。
- **平均情况和最好情况**：Prim的时间复杂度通常被认为是**O(E+V log V)**，因为它通常在实践中表现得更快。

2. Kruskal算法（Kruskal's algorithm）：
- **最坏情况**：Kruskal算法按照边的权值从小到大排序，然后依次加入边，直到形成一棵树。如果图中有环，这可能导致遍历所有边。因此，在最坏情况下，时间复杂度是**O(E log E)**，因为需要对所有边进行排序。
- **平均情况和最好情况**：Kruskal算法在没有环的情况下表现最好，此时时间复杂度也是**O(E log E)**。在实际应用中，如果图是稀疏的（边的数量远小于顶点数量的平方），Kruskal算法效率较高。

相关问题

Prim算法，Kruskal算法时间复杂度

Prim算法和Kruskal算法都是用于求解最小生成树的算法。

1. Prim算法的时间复杂度是O(ElogV)，其中E表示边的数量，V表示节点的数量。具体来说，Prim算法的时间复杂度取决于堆的操作次数，堆的操作次数最多为E次，每次操作的时间复杂度为logV，因此总时间复杂度为O(ElogV)。

2. Kruskal算法的时间复杂度是O(ElogE)，其中E表示边的数量。具体来说，Kruskal算法的时间复杂度主要取决于排序的时间复杂度，排序的时间复杂度为O(ElogE)，加上并查集的操作，总时间复杂度为O(ElogE)。

需要注意的是，Prim算法适用于稠密图，而Kruskal算法适用于稀疏图。如果图是稠密图，那么Prim算法的时间复杂度会更优；如果图是稀疏图，那么Kruskal算法的时间复杂度会更优。

prim和kruskal算法的时间复杂度

### Prim 和 Kruskal 算法时间复杂度分析

#### Prim算法的时间复杂度
Prim算法用于构建最小生成树(MST)，其基本操作是从任意一个顶点开始，逐步扩展到其他顶点直到覆盖整个图。当采用邻接矩阵表示时，原始版本的Prim算法每次寻找连接已选节点集合与未选节点之间的最短边需要遍历所有可能的边，这使得它的时间复杂度达到\( O(V^2) \)[^1]。

然而，通过引入优先队列（通常基于二叉堆实现），可以在很大程度上提高效率。具体来说，在这种情况下查找并更新最近距离的操作可以从线性的\( O(V)\)降低到对数级别的 \(O(\log V)\)，因此整体性能提升到了\( O((V+E)\cdot\log V)=O(E\cdot\log V)\)，这里假定图形是稀疏的即\( E<V^2\) 。

对于稠密图而言，如果使用斐波那契堆作为优先级队列，则可以进一步减少至接近于线性时间复杂度\[ O(E+\alpha (V))]\)，其中α代表阿克曼函数反向形式，几乎恒等于常数值[1]。

#### Kruskal算法的时间复杂度
Kruskal算法同样旨在找到给定加权无向图中的MST。该方法首先按照权重升序排列所有的边，接着依次选取不形成环路的新边加入当前正在生长的森林中。由于涉及到按重量排序以及后续处理过程中频繁查询两个端点所属的不同子集问题，所以主要开销来自于这两个方面：

- 排序阶段：利用高效的排序技术如快速排序或归并排序可使这部分工作量控制在\( O(E\cdot\log E)\)内；
- 并查集维护：为了高效判断新增边是否会构成回路，应用路径压缩启发式策略下的并查集结构能够保证单次查找/合并操作平均耗时不超过\( O(\alpha (E,V))\) ，此处α再次指代上述提到过的极低增长速度的逆阿克曼函数[3]。

综上所述，考虑到实际应用场景中多数情况满足\( |E|\leqslant|V|^2\)的关系成立，那么最终得到Kruskal算法的整体渐近界大约为\( O(E\cdot\log E)=O(E\cdot\log V)\) [^3]。

def kruskal_mst(graph):
    edges = sorted([(weight, u, v) for u in graph for v, weight in enumerate(graph[u]) if weight != 0])
    
    parent = list(range(len(graph)))
    rank = [0]*len(graph)

    mst = []

    def find(node):
        if parent[node]!=node:
            parent[node]=find(parent[node])
        return parent[node]

    def union(u,v):
        rootU=find(u)
        rootV=find(v)
        
        if rootU!=rootV:
            if rank[rootU]>rank[rootV]:
                parent[rootV]=rootU
            elif rank[rootU]<rank[rootV]:
                parent[rootU]=rootV
            else:
                parent[rootV]=rootU
                rank[rootU]+=1
                
            mst.append((u,v))
            
    for w,u,v in edges:
        if find(u)!=find(v):union(u,v)
                
    return sum([w for w,_ ,_ in mst]),mst