c++最小生成树的 Prim算法 Kruskal算法

Prim算法和Kruskal算法都是用来解决最小生成树问题的算法，它们的思路和实现都有所不同。

Prim算法的基本思路是从一个顶点开始，每次找到一个与当前生成树相连的权值最小的边所连接的顶点，并将该顶点加入到生成树中，直到所有的顶点都被加入到生成树中为止。

Kruskal算法则是按照边的权值从小到大的顺序来加入边，每次加入一条边之前，判断这条边所连接的两个顶点是否在同一个连通块中，如果不在，则将这条边加入到生成树中，直到生成树中有n-1条边为止。

两种算法都能够求出最小生成树，但是它们的实现方式和时间复杂度略有不同。Prim算法的时间复杂度为O(n^2)，适用于稠密图；而Kruskal算法的时间复杂度为O(m log m)，适用于稀疏图。

相关问题

请通过C++使用prim算法和kruskal算法编程实现最小生成树

以下是C++实现Prim算法和Kruskal算法求最小生成树的示例代码：

Prim算法：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 1005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
int g[MAXN][MAXN];
int d[MAXN];
bool vis[MAXN];

void prim(int s) {
    memset(d, INF, sizeof(d));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    d[s] = 0;
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
    pq.push(make_pair(d[s], s));
    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().second;
        pq.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = true;
        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (g[u][v] < INF && !vis[v] && g[u][v] < d[v]) {
                d[v] = g[u][v];
                pq.push(make_pair(d[v], v));
            }
        }
    }
}

int main() {
    int m;
    cin >> n >> m;
    memset(g, INF, sizeof(g));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u][v] = g[v][u] = w;
    }
    prim(1);
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (d[i] == INF) {
            cout << "No solution!" << endl;
            return 0;
        }
        ans += d[i];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

Kruskal算法：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 1005;

int n;
int fa[MAXN];

struct Edge {
    int u, v, w;
    bool operator<(const Edge& e) const {
        return w < e.w;
    }
} edges[MAXN * MAXN];

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

int kruskal() {
    int ans = 0, cnt = 0;
    sort(edges, edges + n * (n - 1) / 2);
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    for (int i = 0; i < n * (n - 1) / 2; i++) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        int fu = find(u), fv = find(v);
        if (fu != fv) {
            fa[fu] = fv;
            ans += w;
            cnt++;
            if (cnt == n - 1) break;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        edges[i] = { u, v, w };
    }
    cout << kruskal() << endl;
    return 0;
}

c++分别用Prim算法和Kruskal算法编程实现一下连通无向图的最小生成树。

好的，下面分别给出使用 Prim 算法和 Kruskal 算法实现连通无向图的最小生成树的 C++ 代码实现。

首先，我们需要定义一个边的结构体，用于存储边的起点、终点和权重：

struct Edge {
    int src, dest, weight;
};

接下来，我们分别实现 Prim 算法和 Kruskal 算法。

使用 Prim 算法实现最小生成树：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;

// 定义边
struct Edge {
    int src, dest, weight;
};

// 定义比较函数，用于优先队列
struct Compare {
    bool operator()(Edge const& e1, Edge const& e2) {
        return e1.weight > e2.weight;
    }
};

// 定义 Prim 算法函数
void primMST(vector<vector<int>>& graph, int n) {
    vector<int> key(n, INT_MAX);
    vector<bool> mstSet(n, false);
    priority_queue<Edge, vector<Edge>, Compare> pq;

    key[0] = 0;
    pq.push({0, 0, 0});

    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().dest;
        pq.pop();

        if (mstSet[u]) continue;

        mstSet[u] = true;
        for (int v = 0; v < n; v++) {
            if (graph[u][v] && !mstSet[v] && graph[u][v] < key[v]) {
                key[v] = graph[u][v];
                pq.push({u, v, key[v]});
            }
        }
    }

    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        sum += key[i];
    }

    cout << "Prim算法得到的最小生成树权值和为 " << sum << endl;
}

// 测试函数
int main() {
    int n = 5;
    vector<vector<int>> graph = {
        {0, 2, 0, 6, 0},
        {2, 0, 3, 8, 5},
        {0, 3, 0, 0, 7},
        {6, 8, 0, 0, 9},
        {0, 5, 7, 9, 0}
    };

    primMST(graph, n);
    return 0;
}

使用 Kruskal 算法实现最小生成树：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 定义边
struct Edge {
    int src, dest, weight;
};

// 定义比较函数，用于排序
bool compare(Edge const& e1, Edge const& e2) {
    return e1.weight < e2.weight;
}

// 定义 Kruskal 算法函数
void kruskalMST(vector<Edge>& edges, int n) {
    vector<Edge> result(n - 1);
    sort(edges.begin(), edges.end(), compare);
    vector<int> parent(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    int e = 0, i = 0;
    while (e < n - 1) {
        Edge next_edge = edges[i++];
        int x = parent[next_edge.src];
        int y = parent[next_edge.dest];
        if (x != y) {
            result[e++] = next_edge;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (parent[j] == y) {
                    parent[j] = x;
                }
            }
        }
    }

    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        sum += result[i].weight;
    }

    cout << "Kruskal算法得到的最小生成树权值和为 " << sum << endl;
}

// 测试函数
int main() {
    int n = 5;
    vector<Edge> edges = {
        {0, 1, 2},
        {0, 3, 6},
        {1, 2, 3},
        {1, 3, 8},
        {1, 4, 5},
        {2, 4, 7},
        {3, 4, 9}
    };

    kruskalMST(edges, n);
    return 0;
}

以上代码中，我们分别实现了 Prim 算法和 Kruskal 算法。在 Prim 算法中，我们使用了一个优先队列来维护当前最小的边，同时使用了一个 `key` 数组来记录每个节点到当前生成树的最小边权值。在 Kruskal 算法中，我们使用了一个并查集来维护当前生成树。

在测试函数中，我们定义了一个无向图，然后分别调用了 Prim 算法和 Kruskal 算法来计算最小生成树的权值和，最终输出结果。

希望这个代码能够帮助到您！