Write a function that takes an integer n that is greater than 1 and returns the largest integer that is smaller than n and evenly divides n.

编写一个函数，接收一个大于1的整数n，该函数的目标是找到能被n整除的最大整数因子。这个因子应该小于n本身。这通常用于求解最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD），尤其是当需要找到两个数的最大公约数时，可以取较小的那个数作为输入。

在Python中，可以使用math库中的gcd函数来直接计算最大公约数，但如果我们要手动实现这个功能，可以使用欧几里得算法（Euclidean Algorithm）：

def largest_divisor(n):
    if n <= 1:
        raise ValueError("Input must be greater than 1")
    divisor = 1
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):  # 遍历到根号n即可，因为较大因子必定有个对应的小于根号n
        if n % i == 0:
            divisor = i  # 更新当前找到的最大因子
            break
    return divisor

如果你需要创建一个自定义版本来理解其工作原理，上述代码就是基础。它通过循环遍历n的所有可能因数，并在找到第一个因子时停止，返回那个因子。