6-1 最小生成树（克鲁斯卡尔算法）

克鲁斯卡尔算法是一种用于求解最小生成树的贪心算法。其核心思想是对边进行升序排序，然后从权值最小的边开始，加入最小生成树中，然后利用并查集，把最小生成树中的节点归为同一个集合。一条边只有当它的两个端点不在同一个集合中的时候，才能把它加入最小生成树中。最终得到的最小生成树是原图中所有生成树中边权值之和最小的一棵。

在实现克鲁斯卡尔算法时，需要对边进行排序，可以使用快速排序等排序算法。同时，为了判断两个节点是否在同一个集合中，需要使用并查集数据结构。

如果最小生成树存在，则输出最小生成树的树边权重之和；如果最小生成树不存在，则输出impossible。

相关问题

最小生成树克鲁斯卡尔算法c++

克鲁斯卡尔算法是一种求解最小生成树的贪心算法，其基本思想是将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入一条边会形成环，则不加入这条边，直到生成树中包含所有的点为止。

下面是克鲁斯卡尔算法的 C 语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_N 1000
#define MAX_M 10000

typedef struct {
    int u, v, w;
} Edge;

Edge edges[MAX_M];
int fa[MAX_N];

int cmp(const void *a, const void *b) {
    return ((Edge *) a)->w - ((Edge *) b)->w;
}

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
    }
    qsort(edges, m, sizeof(Edge), cmp);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        fa[i] = i;
    }
    int ans = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        int fu = find(u), fv = find(v);
        if (fu != fv) {
            fa[fu] = fv;
            ans += w;
            ++cnt;
            if (cnt == n - 1) break;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

首先定义了一个 `Edge` 结构体，用来表示边，其中 `u` 和 `v` 表示边的两个端点，`w` 表示边的权值。接下来定义了一个 `cmp` 函数，用来对边按照权值从小到大排序。然后定义了一个 `find` 函数，用来查找某个点所在的集合。`fa` 数组用来记录每个点所在的集合的根节点。

在 `main` 函数中，首先读入点数和边数，然后读入每条边的信息，并将所有边按照权值从小到大排序。接着初始化每个点所在的集合，然后依次将每条边加入生成树中，如果加入一条边会形成环，则不加入这条边，直到生成树中包含所有的点为止。最后输出生成树的权值和即可。

最小生成树克鲁斯卡尔算法代码

以下是使用并查集实现的Kruskal算法的代码：

# 定义边类
class Edge:
    def __init__(self, u, v, w):
        self.u = u  # 边的起点
        self.v = v  # 边的终点
        self.w = w  # 边的权重

# 定义并查集类
class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = [i for i in range(n)]
        self.rank = [1] * n
    
    # 查找x所在的连通块的根节点
    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]
    
    # 合并x和y所在的连通块
    def union(self, x, y):
        root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)
        if root_x == root_y:
            return
        if self.rank[root_x] < self.rank[root_y]:
            self.parent[root_x] = root_y
        elif self.rank[root_x] > self.rank[root_y]:
            self.parent[root_y] = root_x
        else:
            self.parent[root_x] = root_y
            self.rank[root_y] += 1

# 定义Kruskal算法函数
def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda e: e.w)  # 按边权从小到大排序
    res = []
    for e in edges:
        if uf.find(e.u) != uf.find(e.v):  # 不在同一个连通块中
            uf.union(e.u, e.v)
            res.append(e)
    return res

其中n为顶点的数量，edges是存储边的列表，每个元素是一个Edge对象。kruskal函数返回的是最小生成树的边集合，也就是一个包含若干个Edge对象的列表。