请用度量矩阵证明：标准正交基到标准正交基的过度矩阵是酉矩阵

度量矩阵是一个用于描述向量空间内内积性质的矩阵，它反映了空间中向量之间的角度或长度关系。在一个标准正交基中，向量相互垂直且单位长度，这意味着它们之间的夹角是90度，对应的内积是零。

对于两个标准正交基 \( B_1 \) 和 \( B_2 \)，它们都是由单位向量组成的，从 \( B_1 \) 转换到 \( B_2 \) 的过渡矩阵 \( P \) 会保持这些属性。即，如果原向量 \( v \) 在 \( B_1 \) 中表示为 \( [v]_{B_1} \)，转换后的向量 \( w = P[v]_{B_1} \) 在 \( B_2 \) 中表示，那么 \( w \) 仍然是单位向量，并且 \( v \) 和 \( w \) 之间的夹角不变。

为了验证 \( P \) 是酉矩阵（正规矩阵，即其转置等于它的逆矩阵），我们需要满足以下条件：

1. \( P^T P = I \)，这里 \( I \) 是单位矩阵，因为 \( P \) 将向量从一个正交基映射到另一个正交基，而正交性意味着投影后得到的长度是原始长度的一半，所以转置再乘以本身应当恢复原来的向量，即长度和方向都不变。
2. \( PP^T = I \) 同样成立，因为这是由第一点推导出的，因为正交矩阵的左乘和右乘是等价的。

由于这两个方程同时成立，我们可以得出结论：过渡矩阵 \( P \) 是一个酉矩阵。