最长公共子序列并回溯，输出所有最长公共子序列

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指在多个序列中都出现的最长子序列。回溯算法可以用于求解最长公共子序列。

具体地，假设我们要求解两个序列X和Y的最长公共子序列，设它们的长度分别为m和n。我们可以设计一个二维数组c，其中c[i][j]表示序列X的前i个字符和序列Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。则有以下的状态转移方程：

- 当i=0或j=0时，c[i][j]=0；
- 当X[i]=Y[j]时，c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；
- 当X[i]!=Y[j]时，c[i][j]=max(c[i-1][j], c[i][j-1])。

通过上述状态转移方程，我们可以得到c[m][n]即为X和Y的最长公共子序列的长度。接下来，我们可以通过回溯算法求出所有的最长公共子序列。

回溯算法的实现如下：

- 若X[i]=Y[j]，则当前字符一定属于最长公共子序列中，将该字符加入到结果序列中；
- 若X[i]!=Y[j]，则当前字符不属于最长公共子序列中，根据c[i-1][j]和c[i][j-1]的大小关系，决定选择向左回溯还是向上回溯。

具体实现过程中，可以从c[m][n]开始逆序回溯。每次比较X[i]和Y[j]的值，根据上述规则决定回溯方向，直到回溯到c为止。最终得到的结果序列即为所有的最长公共子序列。

下面是一个示例代码：

相关问题

Python动态规划策略实现最长公共子序列。最长公共子序列问题：对两个类型相同的序列（输入），用动态规划方法计算他们的最长公共子序列，并输出最长公共子序列和最长公共子序列的长度值。

好的，这是一个经典的动态规划问题。我们可以使用一个二维数组dp[i][j]表示序列1的前i个字符和序列2的前j个字符的最长公共子序列的长度。具体实现步骤如下：

1. 初始化dp数组，dp[0][j]和dp[i][0]均为0，表示空序列的最长公共子序列长度为0。

2. 遍历序列1和序列2，如果当前字符相等，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1；否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，即选择序列1前i-1个字符和序列2前j个字符的最长公共子序列长度，或者选择序列1前i个字符和序列2前j-1个字符的最长公共子序列长度。

3. 最后，根据dp数组反向回溯，找到最长公共子序列。

下面是Python代码实现：

def lcs(s1, s2):
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    res = ""
    i, j = m, n
    while i > 0 and j > 0:
        if s1[i-1] == s2[j-1]:
            res = s1[i-1] + res
            i -= 1
            j -= 1
        elif dp[i-1][j] > dp[i][j-1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1
    return res, dp[m][n]

这个函数接受两个字符串作为参数s1和s2，返回它们的最长公共子序列和最长公共子序列的长度值。

动态规划策略实现最长公共子序列。 最长公共子序列问题：对两个类型相同的序列（输入），用动态规划方法计算他们的最长公共子序列，并输出最长公共子序列的长度值。

好的，这是一个经典的动态规划问题。我可以给你讲一下具体的实现过程。

我们假设要求的两个序列分别为S1和S2，它们的长度分别为n和m。我们用一个二维数组dp来表示S1和S2的最长公共子序列的长度，其中dp[i][j]表示S1的前i个字符和S2的前j个字符的最长公共子序列长度。

接下来，我们可以考虑状态转移方程。我们可以根据S1和S2的第i和j个字符是否相同来进行分类讨论：

1. 如果S1的第i个字符和S2的第j个字符相同，那么它们一定是最长公共子序列的一部分，因此dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

2. 如果S1的第i个字符和S2的第j个字符不相同，那么它们不可能同时出现在最长公共子序列中。因此，我们可以选择不使用S1的第i个字符或者不使用S2的第j个字符，取两种情况中的最大值作为dp[i][j]的值，即dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

最后，dp[n][m]就是S1和S2的最长公共子序列的长度。

如果你需要输出最长公共子序列本身，我们可以在计算dp数组的同时，记录每个dp[i][j]的值是从哪个状态转移而来的，然后根据这些信息回溯出最长公共子序列。

实际上，这个问题的时间复杂度为O(nm)，空间复杂度也为O(nm)。