共轭梯度法matlab实现

共轭梯度法是一种求解线性方程组和无约束优化问题的迭代算法，下面是MATLAB实现共轭梯度法的步骤：

1.定义矩阵A和向量b，以及初始解x0。

2.计算初始残差r0=b-Ax0，以及初始搜索方向p0=r0。

3.进行共轭梯度法迭代，直到满足收敛条件为止。每次迭代的步骤如下：

a.计算当前搜索方向的步长alpha，使得x=x+alpha*p。

b.计算新的解x和残差r=b-Ax。

c.计算新的搜索方向p，使得p=r+beta*p，其中beta=(r'*r)/(r0'*r0)。

4.输出最终解x。

下面是一个MATLAB实现共轭梯度法的例子：

% 定义矩阵A和向量b，及初始解x0
A = [3 -1 0; -1 3 -1; 0 -1 3];
b = [2; 1; 1];
x0 = [0; 0; 0];

% 计算初始残差r0=b-Ax0，以及初始搜索方向p0=r0
r0 = b - A*x0;
p0 = r0;

% 进行共轭梯度法迭代，直到满足收敛条件为止
max_iter = 100;
tol = 1e-6;
x = x0;
r = r0;
p = p0;
for k = 1:max_iter
    alpha = (r'*r)/(p'*A*p);
    x = x + alpha*p;
    r_new = r - alpha*A*p;
    if norm(r_new) < tol
        break;
    end
    beta = (r_new'*r_new)/(r'*r);
    p = r_new + beta*p;
    r = r_new;
end

% 输出最终解x
disp(x);