离散数学 双射和同构的区别
时间: 2024-06-20 07:01:19 浏览: 10
离散数学中的双射(bijection)和同构(isomorphism)是两个概念,它们通常用于集合论和图论中讨论两个结构之间的关系。
1. 双射(Bijection): 双射是一种函数关系,它不仅是一对一(injective,也称为单射),即每个元素在目标集合中都有唯一的对应,而且是多对一(surjective,也称为满射),即目标集合中的每个元素都有原集合中的某个元素与其对应。简单来说,如果有一个函数 f,对于集合 A 和 B,f 是 A 到 B 的双射当且仅当存在另一个函数 g,使得 g o f (复合函数) 是 A 的恒等函数,而 f o g 是 B 的恒等函数。这意味着 A 和 B 的大小相同,而且可以通过 f 进行完全的一一映射。
2. 同构(Isomorphism): 同构比双射更进一步,它不仅要求两个集合之间存在双射关系,而且还要求这种映射保持了原集合的结构。在集合论中,这通常意味着两种结构的元素间关系被保持;在图论中,同构则表示两个图在形状和连接方式上是完全相同的,即存在一种一一对应的节点和边的关系,使得原有的邻接关系不变。换句话说,如果两个结构 A 和 B 是同构的,那么它们不仅是大小相同,而且其内部的性质(如图形的连通性、子结构等)也是相同的。
相关问题
离散数学判断两图同构的c++程序
离散数学中,图的同构问题是一个经典难题,目前还没有找到一个高效的通用算法来解决。不过在特定情况下(例如小规模的图),可以使用暴力枚举来判断两个图是否同构。
以下是一个基于邻接矩阵表示的简单的同构判断程序的 C++ 代码示例:
```c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 10; // 最大顶点数
int n; // 顶点数
int a[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵
// 判断两个图是否同构
bool isomorphism(int p[], int q[], int k) {
if (k == n) {
// 如果已经枚举完所有的顶点,判断两个图是否同构
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (a[p[i]][p[j]] != a[q[i]][q[j]]) {
return false;
}
}
}
return true;
} else {
// 枚举顶点的排列方式
for (int i = 0; i < k; i++) {
bool flag = true;
for (int j = 0; j < k; j++) {
if (p[j] == i || q[j] == k - 1) {
flag = false;
break;
}
}
if (flag) {
p[k] = i;
q[k] = k - 1;
if (isomorphism(p, q, k + 1)) {
return true;
}
}
}
return false;
}
}
int main() {
// 读入图的信息
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
cin >> a[i][j];
}
}
// 枚举顶点的排列
int p[MAXN], q[MAXN];
memset(p, 0, sizeof(p));
memset(q, 0, sizeof(q));
if (isomorphism(p, q, 1)) {
cout << "两个图同构" << endl;
} else {
cout << "两个图不同构" << endl;
}
return 0;
}
```
该程序通过枚举两个图的顶点排列方式来判断它们是否同构,时间复杂度为 $O(n!)$,只适用于小规模的图。在实际应用中,通常需要使用更高效的算法来解决该问题。
请详细讲解离散数学中图的同构问题
在离散数学中,图同构问题指的是给定两个无向图,判断它们是否同构的问题。同构的意思是说两个图可以通过重新标号节点的方式变为相同的图。该问题在计算机科学和数学中都有着广泛的应用。
判断两个图是否同构的过程可以分为以下几步:
1. 判断两个图的节点数是否相同,如果不同则两个图一定不同构。
2. 对于每个节点,计算它的度数(即与它相邻的边的数目)。如果两个图中某个节点的度数不同,则两个图一定不同构。
3. 对于每个节点,计算它与其他节点的距离,并将这些距离按照升序排列。如果两个图中某个节点的距离序列不同,则两个图一定不同构。
4. 对于每个节点,将它与它的邻居节点的标号按照升序排列,得到一个序列。将所有这些序列按照字典序排列,得到一个字符串。如果两个图的这个字符串不同,则两个图一定不同构。
如果经过上述步骤后,两个图的节点数、度数、距离序列和邻居节点标号序列都相同,则可以认为这两个图是同构的。
需要注意的是,图同构问题是一个NP问题,目前没有找到有效的多项式时间算法来解决。因此,在实际应用中,通常采用一些启发式算法或者人工智能算法来进行求解。
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