欧几里得算法时间复杂度使用强归纳法证明

欧几里得算法，也称为辗转相除法，用于求两个正整数的最大公约数（GCD）。该算法的基本步骤是：用较大的数除以较小的数，然后用余数替换原来较小的数，继续这个过程直到余数为零，此时较小的数就是两数的最大公约数。

欧几里得算法的时间复杂度可以用强归纳法来证明：

1. **基本情况**：当输入的两个数之一为0时，最大公约数显然是另一个非零数，所以时间复杂度为O(1)。这是递归的基础情况。

2. **归纳假设**：我们假设对于所有小于n的两个正整数a和b，欧几里得算法能在常数时间内完成，即时间复杂度是O(1)，这里的n是一个大于0的正整数。

3. **归纳步骤**：考虑两个数a和n（n > a），通过一次除法操作得到余数r（a = q * n + r，其中q是商，r是非负的），这时我们需要对a和n-r再次应用欧几里得算法。因为n-r显然小于n，且a和n-r之间的大小关系不变（仍是n > a），所以我们可以在相同的时间复杂度内完成下一轮计算，直到余数为0。

4. **结论**：由于每次迭代都只增加了一次除法和可能的减法操作，而且都是常数时间，因此整个算法的运行时间与原始输入的较大数n线性相关，即时间复杂度为O(n)。

总结来说，虽然看起来每一步都要进行一些运算，但由于每次迭代都能将问题规模缩小到原来的约一半，加上基础情况的存在，最终我们可以得出欧几里得算法的整体时间复杂度为O(log min(a, b))，这是因为最小的数最多需要log(min(a, b))步才能变成0。